Дано простое число p. Назовём треугольник разрешённым, если все его углы имеют вид  ^m/_p·180°,  где m целое. Одинаковыми будем считать разрешённые треугольники с одинаковым набором углов (то есть подобные). Вначале дан один разрешённый треугольник. Каждую минуту один из имеющихся треугольников разрезают на два разрешённых так, чтобы после разрезания все имеющиеся треугольники были разными. Спустя некоторое время оказалось, что ни один из треугольников так разрезать нельзя. Докажите, что к этому моменту среди имеющихся частей есть все возможные разрешённые треугольники.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

На каждой клетке шахматной доски стоит шашка, с одной стороны белая, с другой черная. За один ход можно выбрать любую шашку и перевернуть все шашки, стоящие с выбранной на одной вертикали, и все шашки, стоящие с ней на одной горизонтали.
  а) Придумайте, как перевернуть ровно одну шашку на доске 6×6, произвольно уставленной шашками.
  б) Можно ли добиться того, чтобы все шашки на доске 5×6 стали белыми, если чёрными изначально была ровно половина шашек.

Прислать комментарий

Решение

а) Какое максимальное количество слонов можно расставить на доске 1000 на 1000 так, чтобы они не били друг друга?
б) Какое максимальное количество коней можно расставить на доске 8×8 так, чтобы они не били друг друга?

Прислать комментарий

Решение

а) Из обычной шахматной доски 8 на 8 вырезали клетки с5 и g2. Можно ли то, что осталось, замостить доминошками 1 на 2?
  б) Тот же вопрос, если вырезали клетки с6 и g2.

Прислать комментарий

Решение

В нижнем левом углу шахматной доски 8 на 8 стоит фишка. Двое по очереди передвигают её на одну клетку вверх, вправо или вправо-вверх по диагонали.  Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый верхний угол. Кто победит при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что в игре в "крестики-нолики" на поле 3*3 при правильной игре первого игрока второй игрок выиграть не сможет.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]