Версия для печати
Убрать все задачи

---

Коля и его сестра Маша пошли в гости. Пройдя четверть пути, Коля вспомнил, что они забыли дома подарок и повернул обратно, а Маша пошла дальше. Маша пришла в гости через 20 минут после выхода из дома. На сколько минут позже пришёл в гости Коля, если известно, что они все время шли с одинаковыми скоростями?

   Решение

---

На консультации было 20 школьников и разбиралось 20 задач. Оказалось, что каждый из школьников решил две задачи и каждую задачу решили два школьника. Докажите, что можно так организовать разбор задач, чтобы каждый школьник рассказал одну из решённых им задач и все задачи были разобраны.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60478  (#03.026)  [Числа Ферма]

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число  aⁿ + 1  простое, то a чётно и  n = 2^k.
(Числа вида  f_k = 2^2k + 1  называются числами Ферма.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60479  (#03.027)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Пусть  f_n = 2²ⁿ + 1.  Докажите, что  f_n  делит  2^f_n – 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60480  (#03.028)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что числа Ферма  f_n = 2²ⁿ + 1  при  n > 1  не представимы в виде суммы двух простых чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60481  (#03.029)  [Числа Мерсенна]

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число aⁿ – 1 простое, то  a = 2  и n – простое.
(Числа вида  q = 2ⁿ – 1  называются числами Мерсенна.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60482  (#03.030)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями