Версия для печати
Убрать все задачи

---

Одно трехзначное число состоит из различных цифр, следующих в порядке возрастания, а в его названии все слова начинаются с одной и той же буквы. Другое трехзначное число, наоборот, состоит из одинаковых цифр, но в его названии все слова начинаются с разных букв. Какие это числа?

   Решение

---

Незнайка хочет записать по кругу 2015 натуральных чисел так, чтобы для каждых двух соседних чисел частное от деления большего на меньшее было простым числом. Знайка утверждает, что это невозможно. Прав ли Знайка?

   Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 173]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78707  (#03.092)

Тема:   [ Количество и сумма делителей числа ]

Сложность: 3 Классы: 8

Даны два натуральных числа m и n. Выписываются все различные делители числа m – числа a, b, ..., k – и все различные делители числа n – числа s, t, ..., z. (Само число и 1 тоже включаются в число делителей.) Оказалось, что  a + b + ... + k = s + t + ... + z  и  ¹/_a + ¹/_b + ... + ¹/_k = ¹/_s + ¹/_t + ... + ¹/_z.
Доказать, что  m = n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60545  (#03.093)

Тема:   [ Количество и сумма делителей числа ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Пусть  (m, n) > 1.  Что больше  τ(mn)  или  τ(m)τ(n)?  Исследуйте тот же вопрос для функции σ(n).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60546  (#03.094)  [Совершенные числа]

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Число n называется совершенным, если  σ(n) = 2n.
Докажите, что если  2^k – 1 = p  – некоторое простое число Мерсенна, то  n = 2^k–1(2^k – 1)  – совершенное число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60547  (#03.095)  [Теорема Эйлера]

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Докажите, что если n – чётное совершенное число, то оно имеет вид  n = 2^k–1(2^k – 1),  и  p = 2^k – 1  – простое число Мерсенна.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60548  (#03.096)  [Дружественные числа]

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

  Числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей числа m равна n и, наоборот, сумма собственных делителей числа n равна m. Другими словами, числа m и n являются дружественными, если  σ(m) – m = n  и  σ(n) – n = m.
  Докажите, что если все три числа  p = 3·2^k–1 – 1,  q = 3·2^k – 1  и  r = 9·2^2k–1 – 1  – простые, то числа  m = 2^kpq  и  n = 2^kr  – дружественные. Постройте примеры дружественных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 173]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями