Страница:
<< 7 8 9 10
11 12 13 >> [Всего задач: 85]
Задача
60884
(#05.046)
[Эффект девяток]
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Периодом дроби 1/7 является число N = 142857. Оно обладает следующим свойством: сумма двух половин периода – число из одних девяток
142 + 857 = 999). Докажите в общем случае, что для простого q > 5 и натурального p < q период дроби p/q есть такое 2n-значное число N = N1N2, что N1 + N2 = 
.
Задача
60885
(#05.047)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Число N = 142857 обладает и рядом других свойств. Например: 2·142857 = 285714, 3·142857 = 428571, ..., то есть при умножении на 1, 2, 3, ..., 6 цифры циклически переставляются;
14 + 28 + 57 = 99; N2 = 20408122449, 20408 + 122449 = 142857 = N.
Аналогичные операции можно проделывать и с другими периодами дробей. Что получается для чисел 1/17, 1/19? Объясните эти факты.
Задача
60886
(#05.048)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Обозначим через L(m) длину периода дроби 1/m. Докажите, что если (m, 10) = 1, то L(m) является делителем числа φ(m).
Задача
60887
(#05.049)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Пусть (m, n) = 1. Докажите, что сумма длин периода и предпериода десятичного представления дроби m/n не превосходит φ(n).
Задача
60888
(#05.050)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Обозначим через L(m) длину периода дроби
1/m. Докажите, что если (m1, 10) = 1 и (m2, 10) = 1, то справедливо равенство L(m1m2) = [L(m1), L(m2)].
Чему равна длина периода дроби 1/m1 + 1/m2?
Страница:
<< 7 8 9 10
11 12 13 >> [Всего задач: 85]
Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 5. Числа, дроби, системы счисления
