Страница: 1
2 >> [Всего задач: 8]
Задача
61521
(#11.094)
|
|
Сложность: 2 Классы: 10,11
|
Вычислите функции gk,l(x) при 0 ≤ k + l ≤ 4 и покажите, что все они являются многочленами.
Определение многочленов Гаусса gk,l(x) можно найти в справочнике.
Задача
61522
(#11.095)
|
|
Сложность: 2+ Классы: 10,11
|
Докажите следующие свойства функций gk,l(x)
(определения функций gk,l(x)
смотри здесь):
а) gk,l(x) = , где hm(x) = (1 – x)(1 – x²)...(1 – xm) (h0(x) = 1);
б) gk,l(x) = gl,k(x);
в) gk,l(x) = gk–1,l(x) + xkgk,l–1(x) = gk,l–1(x) + xlgk–1,l(x);
г) gk,l+1(x) = g0,l(x) + xg1,l(x) + ... + xkgk,l(x);
д) gk,l(x) – многочлен степени kl.
Многочлены gk,l(x) называются многочленами Гаусса. Их свойства во многом аналогичны свойствам биномиальных
коэффициентов. В частности, среди многочленов они играют ту же роль, что и биномиальные коэффициенты среди чисел.
Задача
61523
(#11.096)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 10,11
|
а) Определение (смотри в справочнике)
функций gk,l(x) не позволяет вычислять их значения при x = 1. Но, поскольку функции gk,l(x) являются многочленами, они определены и при x = 1. Докажите равенство
б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи 61522 подставить значение x = 1?
Задача
61524
(#11.097)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 10,11
|
Найдите сумму Sl(x) = g0,l(x) – g1,l–1(x) + g2,l–2(x) – ... + (–1)lgl,0(x).
Определение многочленов Гаусса gk,l(x) можно найти в справочнике.
Задача
61525
(#11.098)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11
|
Обозначим через Pk,l(n) количество разбиений числа n на не более чем k слагаемых, каждое из которых не превосходит l.
Докажите равенства:
а) Pk,l(n) – Pk,l–1(n) = Pk–1,l(n – l);
б) Pk,l(n) – Pk–1,l(n) = Pk,l–1(n – k);
в) Pk,l(n) = Pl,k(n);
г) Pk,l(n) = Pk,l(kl – n).
Страница: 1
2 >> [Всего задач: 8]