Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача
78821
(#М161)
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
|
Озеро имеет форму невыпуклого n-угольника. Докажите, что множество точек озера, из которых видны все его берега, либо пусто, либо заполняет внутренность выпуклого m-угольника, где m≤n.
Задача
73697
(#М162)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Последовательность натуральных чисел a1 < a2 < a3 < ... < an < ... такова, что каждое натуральное число либо входит в последовательность, либо представимо в виде суммы двух членов последовательности, быть может, одинаковых. Докажите, что an ≤ n² для любого n = 1, 2, 3, ...
Задача
52503
(#М163)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9
|
Диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Докажите, что четыре проекции точки пересечения диагоналей на
стороны четырёхугольника лежат на одной окружности.
Задача
73699
(#М164)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполняющей верхнюю полуплоскость, записаны какие-то числа так, что для каждой чёрной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках – справа и слева, – равна сумме двух других чисел, стоящих в соседних с ней клетках – сверху и снизу. Известно число, стоящее в одной клетке n-й строки (крестик на рисунке), а требуется узнать число, стоящее над ним в (n+2)-й строке (знак вопроса на рисунке). Сколько ещё чисел, стоящих в двух нижних строках (точки на рисунке), нужно для этого знать?
Задача
73700
(#М165)
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
На окружности расположено множество F точек, состоящее из 100 дуг. При любом повороте R окружности множество R(F) имеет хотя бы одну общую точку с множеством F. (Другими словами, для любого угла α от 0° до 180° в множестве F можно указать две точки, отстоящие одна от другой на угол α.) Какую наименьшую сумму длин могут иметь 100 дуг, образующих множество F? Каков будет ответ, если дуг не 100, а n?
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Фильтр
