На плоскости отмечено несколько точек, каждая покрашена в синий, желтый или зеленый цвет. На любом отрезке, соединяющем одноцветные точки, нет точек этого же цвета, но есть хотя бы одна другого цвета. Каково максимально возможное число всех точек?

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

Квадрат разбит на  n² ≥ 4  прямоугольников  2(n – 1)  прямыми, из которых  n – 1  параллельны одной стороне квадрата, а остальные  n – 1  – другой. Докажите, что можно выбрать 2n прямоугольников разбиения таким образом, что для каждых двух выбранных прямоугольников один из них можно поместить в другой (возможно, предварительно повернув).

Прислать комментарий

Решение

Окружность ω вписана в треугольник ABC, в котором  AB < AC.  Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны BC в точке A'. Точка X выбирается на отрезке A'A так, что отрезок A'X не пересекает ω. Касательные, проведённые из X к ω, пересекают отрезок BC в точках Y и Z. Докажите, что сумма  XY + XZ  не зависит от выбора точки X.

Прислать комментарий

Решение

Сумма положительных чисел a, b, c и d равна 3. Докажите неравенство   ¹/_a² + ¹/_b² + ¹/_c² + ¹/_d² ≤ ¹/_a²b²c²d².

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]