Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны четыре прямые m₁, m₂, m₃, m₄, пересекающиеся в одной точке O. Через произвольную точку A₁ прямой m₁ проводим прямую, параллельную прямой m₄, до пересечения с прямой m₂ в точке A₂, через A₂ проводим прямую, параллельную m₁, до пересечения с m₃ в точке A₃, через A₃ проводим прямую, параллельную m₂, до пересечения с m₄ в точке A₄ и через точку A₄ проводим прямую, параллельную m₃, до пересечения с m₁ в точке B. Доказать, что OB (см. рис.).

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73656  (#М121)

Темы:   [ Средние величины ] [ Процессы и операции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Для любых n вещественных чисел a₁, a₂, ..., a_n существует такое натуральное  k ≤ n,  что каждое из k чисел a_k,  ½ (a_k + a_k–1),
⅓ (a_k + a_k–1 + a_k–2),  ...,  ¹/_k (a_k + a_k–1 + ... + a₂ + a₁)  не превосходит среднего арифметического c чисел a₁, a₂, ..., a_n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52408  (#М122)

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Пятиугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, CD и DE равны соответственно a, b и c.
Найдите расстояние от вершины A до прямой BE.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73658  (#М123)

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Простые числа и их свойства ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Уравнения в целых числах ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73660  (#М125)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Последовательности (прочее) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

а) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством: ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье?

б) Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающем таким свойством?

в) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешено включать только нечётные числа.

Вот пример такого набора из четырёх чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трёх чисел 3, 5, 7 сумма  5 + 7  делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма  107 + 5  делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма  7 + 107  делится на 3; наконец, в тройке 3, 5, 107 сумма  3 + 107  делится на 5.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями