ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 78013  (#1)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17×17. В клетках квадрата произвольным образом написаны числа 1, 2, 3, ..., 70 по одному и только одному числу в каждой клетке. Доказать, что существуют такие четыре различные клетки с центрами в точках A, B, C, D, что  AB = CD,  AD = BC  и сумма чисел, стоящих в клетках с центрами в A и C, равна сумме чисел в клетках с центрами B и D.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78017  (#2)

Темы:   [ Геометрические неравенства ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Даны четыре прямые m1, m2, m3, m4, пересекающиеся в одной точке O. Через произвольную точку A1 прямой m1 проводим прямую, параллельную прямой m4, до пересечения с прямой m2 в точке A2, через A2 проводим прямую, параллельную m1, до пересечения с m3 в точке A3, через A3 проводим прямую, параллельную m2, до пересечения с m4 в точке A4 и через точку A4 проводим прямую, параллельную m3, до пересечения с m1 в точке B. Доказать, что OB$ \le$$ {\frac{OA_1}{4}}$ (см. рис.).
Прислать комментарий     Решение


Задача 78014  (#3)

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Функция Мебиуса ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Дано число  H = 2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37  (произведение простых чисел). Пусть 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, ..., H – все его делители, выписанные в порядке возрастания. Под рядом делителей выпишем ряд из единиц и минус единиц по следующему правилу: под единицей 1, под числом, которое разлагается на чётное число простых сомножителей, 1, и под числом, которое разлагается на нечётное число простых сомножителей, –1. Доказать, что сумма чисел полученного ряда равна 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78012  (#4)

Тема:   [ Системы линейных уравнений ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Решить систему:

    10x1 + 3x2 + 4x3 + x4 + x5 = 0,
    11x2 + 2x3 + 2x4 + 3x5 + x6 = 0,
    15x3 + 4x4 + 5x5 + 4x6 + x7 = 0,
    2x1 + x2 – 3x3 + 12x4 – 3x5 + x6 + x7 = 0,
    6x1 – 5x2 + 3x3x4 + 17x5 + x6 = 0,
    3x1 + 2x2 – 3x3 + 4x4 + x5 – 16x6 + 2x7 = 0,
    4x1 – 8x2 + x3 + x4 – 3x5 + 19x7 = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78015  (#5)

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Многоугольники ]
Сложность: 3
Классы: 9

Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .