Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача
78013
(#1)
|
|
Сложность: 3+ Классы: 8,9,10
|
Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17×17. В клетках квадрата произвольным образом написаны числа 1, 2, 3, ..., 70 по одному и только одному числу в каждой клетке. Доказать, что существуют такие четыре различные клетки с центрами в точках A, B, C, D, что AB = CD, AD = BC и сумма чисел, стоящих в клетках с центрами в A и C, равна сумме чисел в клетках с центрами B и D.
Задача
78017
(#2)
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Даны четыре прямые
m1,
m2,
m3,
m4, пересекающиеся в одной точке
O. Через произвольную точку
A1 прямой
m1 проводим прямую, параллельную
прямой
m4, до пересечения с прямой
m2 в точке
A2, через
A2 проводим
прямую, параллельную
m1, до пересечения с
m3 в точке
A3, через
A3
проводим прямую, параллельную
m2, до пересечения с
m4 в точке
A4 и через точку
A4 проводим прямую, параллельную
m3, до пересечения
с
m1 в точке
B.
Доказать, что
OB (см. рис.).
Задача
78014
(#3)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9,10
|
Дано число H = 2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37 (произведение простых чисел). Пусть 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, ..., H – все его делители, выписанные в порядке возрастания. Под рядом делителей выпишем ряд из единиц и минус единиц по следующему правилу: под единицей 1, под числом, которое разлагается на чётное число простых сомножителей, 1, и под числом, которое разлагается на нечётное число простых сомножителей, –1. Доказать, что сумма чисел полученного ряда равна 0.
Задача
78012
(#4)
|
|
Сложность: 4 Классы: 8,9
|
Решить систему:
10x1 + 3x2 + 4x3 + x4 + x5 = 0,
11x2 + 2x3 + 2x4 + 3x5 + x6 = 0,
15x3 + 4x4 + 5x5 + 4x6 + x7 = 0,
2x1 + x2 – 3x3 + 12x4 – 3x5 + x6 + x7 = 0,
6x1 – 5x2 + 3x3 – x4 + 17x5 + x6 = 0,
3x1 + 2x2 – 3x3 + 4x4 + x5 – 16x6 + 2x7 = 0,
4x1 – 8x2 + x3 + x4 – 3x5 + 19x7 = 0.
Задача
78015
(#5)
|
|
Сложность: 3 Классы: 9
|
Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?
Страница: 1 [Всего задач: 5]