Версия для печати
Убрать все задачи

---

Назовём натуральное число разрешённым, если оно имеет не более 20 различных простых делителей. В начальный момент имеется куча из 2004! камней. Два игрока по очереди забирают из кучи некоторое разрешённое количество камней (возможно, каждый раз новое). Побеждает тот, кто заберёт последние камни. Кто выигрывает при правильной игре?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65836  (#1)

Темы:   [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC  ∠A = 60°.  Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает прямую AC в точке N. Серединный перпендикуляр к стороне AC пересекает прямую AB в точке M. Докажите, что  CB = MN.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65837  (#2)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В клетках первого столбца таблицы n×n записаны единицы, в клетках второго – двойки, ..., в клетках n-го – числа n. Числа на диагонали, соединяющей левое верхнее число с правым нижним, стёрли. Докажите, что суммы чисел по разные стороны от этой диагонали отличаются ровно в два раза.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65838  (#3)

Тема:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Известно, что число a положительно, а неравенство  1 < xa < 2  имеет ровно три решения в целых числах.
Сколько решений в целых числах может иметь неравенство  2 < xa < 3 ?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65839  (#4)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Четность и нечетность ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Аня, Боря и Витя сидят по кругу за столом и едят орехи. Сначала все орехи у Ани. Она делит их поровну между Борей и Витей, а остаток (если он есть) съедает. Затем все повторяется: каждый следующий (по часовой стрелке) делит имеющиеся у него орехи поровну между соседями, а остаток съедает. Орехов много (больше 3). Докажите, что:
  a) хотя бы один орех будет съеден;
  б) все орехи не будут съедены.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65840  (#5)

Темы:   [ Наглядная геометрия ] [ Раскраски ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

У Пети есть n³ белых кубиков 1×1×1. Он хочет сложить из них куб n×n×n, снаружи полностью белый. Какое наименьшее число граней кубиков должен закрасить Вася, чтобы помешать Пете? Решите задачу при   a)  n = 2;   б)  n = 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями