Дан треугольник ABC. На сторонах AB, BC, CA взяты соответственно точки C₁, A₁, B₁ так, что  AC₁ : C₁B = BA₁ : A₁C = CB₁ : B₁A = 1 : n.  На сторонах A₁B₁, B₁C₁, C₁A₁ треугольника A₁B₁C₁ взяты соответственно точки C₂, A₂, B₂ так, что  A₁C₂ : C₂B₁ = B₁A₂ : A₂C₁ = C₁B₂ : B₂A₁ = n : 1.  Доказать, что  A₂C₂ || AC,  C₂B₂ || CB,   B₂A₂ || BA.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

n человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом n.

Прислать комментарий

Решение

Даны выпуклый n-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка O внутри его. Докажите, что через точку O нельзя провести более n прямых, каждая из которых делит площадь n-угольника пополам.

Прислать комментарий

Решение

  а) x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ – положительные числа. Докажите, что квадрат суммы этих чисел не меньше учетверённой суммы произведений x₁x₂, x₂x₃, x₃x₄, x₄x₅ и x₅x₁.
  б) При каком наибольшем c_n для любых неотрицательных x₁, ..., x_n верно неравенство  (x₁ + x₂ + ... + x_n)² ≥ c_n(x₁x₂ + x₂x₃ + ... + x_nx₁)
(в правой части n слагаемых)?

Прислать комментарий

Решение

В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

Прислать комментарий

Решение

Король обошёл шахматную доску, побывав на каждом поле ровно один раз и вернувшись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь, последовательно соединив центры полей, которые он проходил, получилась замкнутая ломаная без самопересечений. Какую наименьшую и какую наибольшую длину может она иметь? (Сторона клетки равна единице.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]