Версия для печати
Убрать все задачи

---

В однокруговом хоккейном турнире принимало участие 2016 команд. По регламенту турнира за победу даётся 3 очка, за поражение 0 очков, а в случае ничьей назначается дополнительное время, победитель которого получает 2 очка, а проигравший – 1 очко. По окончании турнира Остапу Бендеру сообщили количество очков, набранных каждой командой, на основании чего он сделал вывод, что не менее N матчей закончились дополнительным временем. Найдите наибольшее возможное значение N.

   Решение

---

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  на стороне AB выбрана точка D, и вокруг треугольников ADC и BDC описаны окружности S₁ и S₂ соответственно. Касательная, проведённая к S₁ в точке D, пересекает второй раз окружность S₂ в точке M. Докажите, что  BM || AC.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109892  (#96.4.9.1)

Тема:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Найдите все такие пары квадратных трёхчленов  x² + ax + b,  x² + cx + d,  что a и b – корни второго трёхчлена, c и d – корни первого.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108235  (#96.4.9.2)

Темы:   [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  на стороне AB выбрана точка D, и вокруг треугольников ADC и BDC описаны окружности S₁ и S₂ соответственно. Касательная, проведённая к S₁ в точке D, пересекает второй раз окружность S₂ в точке M. Докажите, что  BM || AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109894  (#96.4.9.3)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Уравнения в целых числах ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Пусть a, b и c – попарно взаимно простые натуральные числа. Найдите все возможные значения  ,  если известно, что это число целое.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109895  (#96.4.9.4)

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Шестиугольники ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

В одном из узлов шестиугольника со стороной n , разбитого на правильные треугольники (см. рис.) , стоит фишка. Двое играющих по очереди передвигают ее в один из соседних узлов, причем запрещается ходить в узел, в котором фишка уже побывала. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109896  (#96.4.9.5)

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Найдите все натуральные числа, имеющие ровно шесть делителей, сумма которых равна 3500.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями