Версия для печати
Убрать все задачи

---

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении   2 : 1,  считая от вершин, лежат на одной сфере.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109600  (#95.5.11.6)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

На карусели с n сиденьями мальчик катался n сеансов подряд. После каждого сеанса он вставал и, двигаясь по часовой стрелке, пересаживался на другое сиденье. Число сидений карусели, мимо которых мальчик проходит при пересаживании, включая и то, на которое он садится, назовём длиной перехода. При каких n за n сеансов мальчик мог побывать на каждом сиденье, если длины всех n – 1  переходов различны и меньше n?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109601  (#95.5.11.7)

Темы:   [ Высота пирамиды (тетраэдра) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Сферы (прочее) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении   2 : 1,  считая от вершин, лежат на одной сфере.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109607  (#95.5.11.8)

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Симметрия и инволютивные преобразования ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Даны непостоянные многочлены P(x) и Q(x), у которых старшие коэффициенты равны 1.
Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена P(x)Q(x) не меньше суммы квадратов свободных членов P(x) и Q(x).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями