Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 110062 (#01.4.10.1)

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Произвольные многоугольники	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Агаханов Н.Х.

Длины сторон многоугольника равны a₁, a₂, ..., a_n. Квадратный трёхчлен f(x) таков, что f(a₁) = f(a₂ + ... + a_n).
Докажите, что если A – сумма длин нескольких сторон многоугольника, B – сумма длин остальных его сторон, то f(A) = f(B).

Прислать комментарий

Решение

Задача 108221 (#01.4.10.2)

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянова Т.

В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.

Прислать комментарий Решение

Задача 110064 (#01.4.10.3)

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Раскраски	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Автор: Лифшиц Ю.

Опишите все способы покрасить каждое натуральное число в один из трёх цветов так, чтобы выполнялось условие: если числа a, b и c (не обязательно различные) удовлетворяют условию 2000(a + b) = c, то они либо все одного цвета, либо трёх разных цветов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110065 (#01.4.10.4)

Темы:	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

Автор: Лифшиц Ю.

Проведено три семейства параллельных прямых, по 10 прямых в каждом. Какое наибольшее число треугольников они могут вырезать из плоскости?

Прислать комментарий

Решение

Задача 110066 (#01.4.10.5)

Темы:	[	Квадратные уравнения и системы уравнений	]
Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Храбров А.

Даны целые числа a, b и c, c ≠ b. Известно, что квадратные трёхчлены ax² + bx + c и (c – b)x² + (c – a)x + (a + b) имеют общий корень (не обязательно целый). Докажите, что a + b + 2c делится на 3.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]