Найдите геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.

   Решение

В равнобокой трапеции AВСD основания AD и ВС равны 12 и 6 соответственно, а высота равна 4. Сравните углы ВАС и САD.

   Решение

В некотором государстве человек может быть зачислен в полицию только в том случае, если он выше ростом чем 80% (или больше) его соседей. Чтобы доказать свое право на зачисление в полицию, человек сам называет число R (радиус), после чего его "соседями" считаются все, кто живёт на расстоянии меньше R от него (число соседей, разумеется, должно быть не нулевое). В этом же государстве человек освобождается от службы в армии только в том случае, если он ниже ростом, чем 80% (или больше) его соседей. Определение "соседей" аналогично; человек сам называет число r (радиус) и т. д., причём R и r не обязательно совпадают. Может ли случиться, что не менее 90% населения имеют право на зачисление в полицию и одновременно не менее 90% населения освобождены от армии? (Каждый человек проживает в определенной точке плоскости.)

   Решение

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают описанную окружность этого треугольника в точках A₀ и C₀ соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника ABC параллельно стороне AC , пересекается с прямой A₀C₀ в точке P . Докажите, что прямая PB касается описанной окружности треугольника ABC .

   Решение

Найдите наибольшее значение функции y = 16x-5 sin x+3 на отрезке [-;0] .

   Решение

Докажите, что если уравнения  x³ + px + q = 0,  x³ + p'x + q' = 0  имеют общий корень, то  (pq' – qp')(p – p')² = (q – q')³.

   Решение

Докажите, что равенство  4p³ + 27q² = 0  является необходимым и достаточным условием для совпадения по крайней мере двух корней уравнения
x³ + px + q = 0.

   Решение

На доске записаны числа 1, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 2⁵. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число.
Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

   Решение

Окружность ω с центром O вписана в угол BAC и касается его сторон в точках B и C. Внутри угла BAC выбрана точка Q. На отрезке AQ нашлась такая точка P, что  AQ ⊥ OP.  Прямая OP пересекает описанные окружности ω₁ и ω₂ треугольников BPQ и CPQ, вторично в точках M и N. Докажите, что  OM = ON.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

Существуют ли такие 14 натуральных чисел, что при увеличении каждого из них на 1 произведение всех чисел увеличится ровно в 2008 раз?

Прислать комментарий

Решение

Дана таблица n×n, столбцы которой пронумерованы числами от 1 до n. В клетки таблицы расставляются числа 1, ..., n  так, что в каждой строке и в каждом столбце все числа различны. Назовём клетку хорошей, если число в ней больше номера столбца, в котором она находится. При каких n существует расстановка, в которой во всех строках одинаковое количество хороших клеток?

Прислать комментарий

Решение

Окружность ω с центром O вписана в угол BAC и касается его сторон в точках B и C. Внутри угла BAC выбрана точка Q. На отрезке AQ нашлась такая точка P, что  AQ ⊥ OP.  Прямая OP пересекает описанные окружности ω₁ и ω₂ треугольников BPQ и CPQ, вторично в точках M и N. Докажите, что  OM = ON.

Прислать комментарий

Решение

Последовательности (a_n) и (b_n) заданы условиями a₁=1 , b₁=2 , a_n+1= и b_n+1= . Докажите, что a2008<5 .

Прислать комментарий

Решение

Найдите все такие тройки действительных чисел x, y, z, что  1 + x⁴ ≤ 2(y – z)² 1 + y⁴ ≤ 2(z – x)²,  1 + z⁴ ≤ 2(x – y)².

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]