Докажите следующие свойства подходящих дробей:
  а)  P_kQ_k–2 – P_k–2Q_k = (–1)^ka_k  (k ≥ 2);
  б)   – =   (k ≥ 1);
  в)  Q₁ < Q₂ < ... < Q_n;
  г)   < < < ... ≤ ≤ ... < < < ;

   Решение

Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, проходит через середину другой стороны. Докажите, что треугольник равнобедренный.

   Решение

Для натуральных чисел  a > b > 1  определим последовательность  x₁, x₂, ...  формулой   .   Найдите наименьшее d, при котором ни при каких a и b эта последовательность не содержит d последовательных членов, являющихся простыми числами.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

Дан остроугольный треугольник ABC. На продолжениях BB₁ и CC₁ его высот за точки B₁ и C₁ выбраны соответственно точки P и Q так, что угол PAQ – прямой. Пусть AF – высота треугольника APQ. Докажите, что угол BFC – прямой.

Прислать комментарий

Решение

Для натуральных чисел  a > b > 1  определим последовательность  x₁, x₂, ...  формулой   .   Найдите наименьшее d, при котором ни при каких a и b эта последовательность не содержит d последовательных членов, являющихся простыми числами.

Прислать комментарий

Решение

Клетчатый квадрат 2010×2010 разрезан на трёхклеточные уголки. Докажите, что можно в каждом уголке отметить по клетке так, чтобы в каждой вертикали и в каждой горизонтали было поровну отмеченных клеток.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]