Версия для печати
Убрать все задачи

---

В турнире участвовало 11 шахматистов: 4 – из России и 7 зарубежных. Каждый шахматист сыграл с каждым по две партии (выигрыш – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). По окончании турнира оказалось, что все участники набрали различное количество очков, причем сумма очков, набранных россиянами, равна сумме очков, набранных иностранцами. Могло ли в тройке призеров не оказаться ни одного россиянина?

   Решение

---

Точка внутри равнобокой трапеции соединяется со всеми вершинами. Доказать, что из четырёх полученных отрезков можно сложить четырёхугольник, вписанный (Разрешается, чтобы вершины четырёхугольника лежали не только на сторонах трапеции, но и на их продолжениях — прим. ред.) в эту трапецию.

   Решение

---

Про группу из пяти человек известно, что:

   Алеша на 1 год старше Алексеева,
   Боря на 2 года старше Борисова,
   Вася на 3 года старше Васильева,
   Гриша на 4 года старше Григорьева,
   а еще в этой группе есть Дима и Дмитриев.

Кто старше и на сколько: Дима или Дмитриев?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116817  (#1)

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Про группу из пяти человек известно, что:

   Алеша на 1 год старше Алексеева,
   Боря на 2 года старше Борисова,
   Вася на 3 года старше Васильева,
   Гриша на 4 года старше Григорьева,
   а еще в этой группе есть Дима и Дмитриев.

Кто старше и на сколько: Дима или Дмитриев?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116818  (#2)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Пусть C(n) – количество различных простых делителей числа n. (Например,  C(10) = 2,  C(11) = 1,  C(12) = 2.)
Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел  (a, b),  что  a ≠ b  и  C(a + b) = C(a) + C(b)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116819  (#3)

Тема:   [ Инварианты ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Таблица 10×10 заполняется по правилам игры "Сапёр": в некоторые клетки ставят по мине, а в каждую из остальных клеток записывают количество мин в клетках, соседних с данной клеткой (по стороне или вершине). Может ли увеличиться сумма всех чисел в таблице, если все "старые" мины убрать, во все ранее свободные от мин клетки поставить мины, после чего заново записать числа по правилам?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116820  (#4)

Темы:   [ Параллелограммы (прочее) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Окружность касается сторон AB, BC, CD параллелограмма ABCD в точках K, L, M соответственно.
Докажите, что прямая KL делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины C на AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116821  (#5)

Тема:   [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В классе 20 школьников. Было устроено несколько экскурсий, в каждой из которых участвовал хотя бы один школьник этого класса.
Докажите, что найдётся такая экскурсия, что каждый из участвовавших в ней школьников принял участие по меньшей мере в ¹/₂₀ всех экскурсий.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями