Каталог по источникам

Выбрано 9 задач

Улитка должна проползти вдоль линий клетчатой бумаги путь длины 2n, начав и кончив свой путь в данном узле.
Доказать, что число различных её маршрутов равно

Решение

Доказать, что в трапеции сумма углов при меньшем основании больше, чем при большем.

Решение

Докажите неравенство для натуральных n > 1:

Решение

Автор: Блинков А.Д.

Дан четырёхугольник ABCD. Оказалось, что описанная окружность треугольника ABC, касается стороны CD, а описанная окружность треугольника ACD касается стороны AB. Докажите, что диагональ AC меньше, чем расстояние между серединами сторон AB и CD.

Решение

Докажите неравенство nⁿ⁺¹ > (n + 1)ⁿ для натуральных n > 2.

Решение

Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

Решение

Даны числа $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ ,..., $\alpha_{k}$ , причём для всех натуральных нечётных n имеет место равенство

$\displaystyle \alpha_{1}^{n}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{n}$ + ... + $\displaystyle \alpha_{k}^{n}$ = 0.

Доказать, что те из чисел $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ ,..., $\alpha_{k}$ , которые не равны нулю, можно разбить на пары таким образом, чтобы два числа, входящие в одну и ту же пару, были бы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.

Решение

Автор: Прокопенко Д.

Точки E, F – середины сторон BC, CD квадрата ABCD. Прямые AE и BF пересекаются в точке P. Докажите, что ∠PDA = ∠AED.

Решение

В стакане находятся бактерии. Через секунду каждая из бактерий делится пополам, затем каждая из получившихся бактерий через секунду делится пополам и так далее. Через минуту стакан полон. Через какое время стакан был заполнен наполовину?

Решение

Задача 22000 (#033)

Задача 22001 (#034)

Задача 30260 (#001)

Задача 30261 (#002)

Задача 30262 (#003)