Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Гениальные математики. а) Каждому из двух гениальных математиков сообщили по натуральному числу, причем им известно, что эти числа отличаются на единицу. Они поочередно спрашивают друг друга: "Известно ли тебе мое число?" Докажите, что рано или поздно кто-то из них ответит "да". Сколько вопросов они зададут друг другу? (Математики предполагаются правдивыми и бессмертными.)
б) Как изменится число заданных вопросов, если с самого начала известно, что данные числа не превосходят 1000?

Вниз   Решение


Найти корни уравнения   

ВверхВниз   Решение


Пусть  ka ≡ kb (mod m),  k и m взаимно просты. Тогда  a ≡ b (mod m).

ВверхВниз   Решение


Дан выпуклый n-угольник A1...An. Пусть Pi  (i = 1, ..., n)  – такая точка на его границе, что прямая AiPi делит его площадь пополам. Известно, что все точки Pi не совпадают с вершинами и лежат на k сторонах n-угольника. Каково  а) наименьшее;  б) наибольшее возможное значение k при каждом данном n?

ВверхВниз   Решение


Определить отношение двух чисел, если отношение их среднего арифметического к среднему геометрическому равно 25 : 24.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC отметили центр вписанной окружности, основание высоты, опущенной на сторону AB, и центр вневписанной окружности, касающейся этой стороны и продолжений двух других. После этого сам треугольник стёрли. Восстановите его.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что треугольник остроугольный тогда и только тогда, когда p > 2R + r.

ВверхВниз   Решение


а) Через точки P и Q проведены тройки прямых. Обозначим их точки пересечения так, как показано на рис. Докажите, что прямые KL, AC и MN пересекаются в одной точке (или параллельны).
б) Докажите, далее, что если точка O лежит на прямой BD, то точка пересечения прямых KL, AC и MN лежит на прямой PQ.


ВверхВниз   Решение


Докажите, что среди любых шести человек есть либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.

ВверхВниз   Решение


Аня, Ваня и Саня сели в автобус, не имея медных монет, однако сумели заплатить за проезд, потратив по пять копеек каждый. Как им это удалось?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 559]      



Задача 22000  (#033)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8

Дано 11 различных натуральных чисел, не больших 20. Докажите, что из них можно выбрать два числа, одно из которых делится на другое.

Прислать комментарий     Решение

Задача 22001  (#034)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Объединение, пересечение и разность множеств ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

11 пионеров занимаются в пяти кружках дома культуры. Докажите, что найдутся два пионера А и В такие, что все кружки, которые посещает А, посещает и В.

Прислать комментарий     Решение


Задача 30260  (#001)

Тема:   [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]
Сложность: 2
Классы: 6,7

В стакане находятся бактерии. Через секунду каждая из бактерий делится пополам, затем каждая из получившихся бактерий через секунду делится пополам и так далее. Через минуту стакан полон. Через какое время стакан был заполнен наполовину?

Прислать комментарий     Решение


Задача 30261  (#002)

Тема:   [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]
Сложность: 2
Классы: 6,7

Аня, Ваня и Саня сели в автобус, не имея медных монет, однако сумели заплатить за проезд, потратив по пять копеек каждый. Как им это удалось?

Прислать комментарий     Решение


Задача 30262  (#003)

Тема:   [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]
Сложность: 2
Классы: 6,7

Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 439, а номер последней записывается теми же цифрами в каком-то другом порядке. Сколько страниц в выпавшем куске?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 559]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .