Каталог по источникам

Выбрано 11 задач

а) Докажите, что число точек пересечения двух замкнутых ломаных на плоскости, находящихся в общем положении, чётно.
б) Верно ли это для замкнутых ломаных, нарисованных на поверхности оконной рамы?

Решение

Решить в целых числах уравнение ^xy/_z + ^xz/_y + ^yz/_x = 3.

Решение

Докажите, что для любого выпуклого многогранника имеет место соотношение

B - P + Г = 2,

где B — число его вершин, P — число ребер, Г — число граней.

Решение

За круглым столом сидят n человек. Разрешается любых двух людей, сидящих рядом, поменять местами. Какое наименьшее число таких перестановок необходимо сделать, чтобы в результате каждые два соседа остались бы соседями, но сидели бы в обратном порядке?

Решение

Докажите, что если a₁ = a₂ и b₁ = b₂ (см. рис.), то x = y.

Решение

Труппа театра состоит из 20 артистов. Сколькими способами можно выбрать из неё в течение двух вечеров по шесть человек для участия в спектаклях так, чтобы ни один артист не участвовал в двух спектаклях?

Решение

Сколько существует (невырожденных) треугольников периметра 100 с целыми длинами сторон?

Решение

Три равные окружности касаются друг друга. Из произвольной точки окружности, касающейся внутренним образом этих окружностей, проведены касательные к ним. Доказать, что сумма длин двух касательных равна длине третьей.

Решение

Сколько существует целых чисел от 0 до 999999, в десятичной записи которых нет двух стоящих рядом одинаковых цифр?

Решение

Найти множество центров тяжести всех остроугольных треугольников, вписанных в данную окружность.

Решение

Сколькими способами три человека могут разделить между собой шесть одинаковых яблок, один апельсин, одну сливу и один мандарин?

Решение

Задача 30727 (#041)

Задача 30728 (#042)

Задача 30729 (#043)

Задача 30730 (#044)

Задача 30731 (#045)