Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки
>>
глава 11. Комбинаторика-2
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
В правильном восемнадцатиугольнике A0...A17 проведены диагонали A0Ap+3, Ap+1A18–r и A1Ap+q+3.
Докажите, что указанные диагонали пересекаются в одной точке в любом из следующих случаев:
а) {p, q, r} = {1, 3, 4},
б) {p, q, r} = {2, 2, 3}.
На стороне AD выпуклого четырёхугольника ABCD нашлась такая точка M, что CM и BM параллельны AB и CD соответственно.
Докажите, что SABCD ≥ 3SBCM.
Дан произвольный треугольник ABC и точка X вне его. AM, BN, CQ — медианы треугольника ABC. Доказать, что площадь одного из треугольников XAM, XBN, XCQ равна сумме площадей двух других.
Правильный пятиугольник ABCDE со стороной a вписан в
окружность S. Прямые, проходящие через его вершины перпендикулярно
сторонам, образуют правильный пятиугольник со стороной b (см. рис.).
Сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности S,
равна c. Докажите, что
a2 + b2 = c2.
Найдите предел
Пусть AC – большая из диагоналей параллелограмма ABCD. Из точки C на продолжения сторон AB и AD опущены перпендикуляры CE и CF соответственно. Докажите, что AB·AE + AD·AF = AC².
Докажите, что корни уравнения где a, b, c – попарно различные комплексные числа, лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c, или на его сторонах (в случае вырожденного треугольника).
В школе изучают 2n предметов. Все ученики учатся на 4 и 5. Никакие два
ученика не учатся одинаково, ни про каких двух нельзя сказать, что один из них
учится лучше другого. Доказать, что число учеников в школе не больше .
(Мы считаем, что ученик p учится лучше ученика q, если у p оценки по всем предметам не ниже, чем у q, а по некоторым предметам – выше.)
X и Y — два выпуклых многоугольника, причём многоугольник X содержится
внутри Y. Пусть S(X) и S(Y) — площади этих многоугольников, а P(X) и
P(Y) — их периметры. Доказать, что
< 2 .
.
Сколькими способами можно выложить в ряд пять красных, пять синих и пять зелёных шаров так, чтобы никакие два синих шара не лежали рядом?
Задачи Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]
Задача 30727 (#041) |
|
|
Сколькими способами можно расположить в девяти лузах семь белых и два чёрных шара? Часть луз может быть пустой, а лузы считаются различными.
|
|
Решение |
Задача 30728 (#042) |
|
|
Сколькими способами три человека могут разделить между собой шесть одинаковых яблок, один апельсин, одну сливу и один мандарин?
|
|
|
Решение |
Задача 30729 (#043) |
|
|
Сколькими способами четыре чёрных шара, четыре белых шара и четыре синих шара можно разложить в шесть различных ящиков?
|
|
|
Решение |
Задача 30730 (#044) |
|
|
Общество из n членов выбирает из своего состава одного представителя.
а) Сколькими способами может произойти открытое голосование, если каждый голосует за одного человека (быть может, и за себя)?
б) Решите ту же задачу, если голосование – тайное, то есть учитывается лишь число голосов, поданных за каждого кандидата, и не учитывается, кто за кого голосовал персонально.
|
|
|
Решение |
Задача 30731 (#045) |
|
|
Сколькими способами можно выложить в ряд пять красных, пять синих и пять зелёных шаров так, чтобы никакие два синих шара не лежали рядом?
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]
