Каталог по источникам

Выбрано 14 задач

Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть a и b – два положительных числа, и a < b. Определим две последовательности чисел {a_n} и {b_n} формулами:

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.
Этот предел называется арифметико-гармоническим средним чисел a и b.
б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел a и b.
в) Пусть a = 1, b = k. Как последовательность {b_n} связана с последовательностью {x_n} из задачи 61299?

Решение

Докажите, что для плоского графа справедливо неравенство 2E ≥ 3F.

Решение

С какой гарантированной точностью вычисляется $\sqrt{k}$ при помощи алгоритма задачи 9.48 после пяти шагов?

Решение

Докажите, что связный граф, имеющий не более двух нечётных вершин, можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз.

Решение

Найти все прямоугольники, которые можно разрезать на 13 равных квадратов.

Решение

В стране Озёрная семь озер, соединённых между собой десятью непересекающимися каналами, причём от каждого озера можно доплыть до любого другого. Сколько в этой стране островов?

Решение

Игра ``Ним''. Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять любое (ненулевое) количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто взял последний камень. Для анализа игры каждому набору кучек камней m₁, m₂, ..., m_l поставим в соответствие его ним сумму (5.1 ).
а) Докажите, что если игрок делает ход из позиции с нулевой ним-суммой, то в результате получается позиция с ним-суммой n $\ne$ 0.
б) Докажите, что из позиции с ненулевой ним-суммой всегда можно сделать ход в позицию с ним-суммой n = 0.
в) Опишите выигрышную стратегию в игру ``Ним''.
г) Какой следует сделать ход, если перед вами три кучки: 3, 4 и 5 камней?

Решение

При каких натуральных a и b число log_ab будет рациональным?

Решение

12 монет. Из двенадцати монет одиннадцать настоящих, а одна фальшивая (она отличается по весу от настоящей, но не известно, в какую сторону). Требуется за три взвешивания на двухчашечных весах без гирь найти фальшивую монету и выяснить, легче она или тяжелее настоящей.

Решение

20 команд сыграли круговой турнир по волейболу.
Докажите, что команды можно занумеровать числами от 1 до 20 так, что 1-я команда выиграла у 2-й, 2-я – у 3-й, ..., 19-я – у 20-й.

Решение

Дана квадратная сетка на плоскости и треугольник с вершинами в узлах сетки. Докажите, что тангенс любого угла в треугольнике — число рациональное.

Решение

Докажите, что уравнения
а) 8x⁴ + 4y⁴ + 2z⁴ = t⁴;
б) x² + y² + z² = 2xyz;
в) x² + y² + z² + u² = 2xyzu;
г) 3ⁿ = x² + y²
не имеют решений в натуральных числах.

Решение

Решите уравнение $\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+x}}}$ = x.

Решение

Семиугольник разбит на выпуклые пяти- и шестиугольники, причём так, что каждая его вершина является вершиной по крайней мере двух многоугольников разбиения. Докажите, что число пятиугольников разбиения не меньше 13.

Решение

Задача 30805 (#027)

Задача 30806 (#028)

Задача 30807 (#029)

Задача 30808 (#030)

Задача 30809 (#031)