Построить прямоугольный треугольник по двум медианам, проведённым к катетам.

   Решение

a, b, c ≥ 0.  Докажите, что  2(a³ + b³ + c³) ≥ a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc².

   Решение

Верно ли, что из любых 10 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник?

   Решение

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$. Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$. Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.

   Решение

Докажите, что при любом x выполняется неравенство  x(x + 1)(x + 2)(x + 3) ≥ –1.

   Решение

Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x) и представьте его в виде  P(x)U(x) + Q(x)V(x):
  а)  P(x) = x⁴ + x³ – 3x² – 4x – 1,  Q(x) = x³ + x² – x – 1;
  б)  P(x) = 3x⁴ – 5x³ + 4x² – 2x + 1,  Q(x) = 3x³ – 2x² + x – 1.

   Решение

Найти последнюю цифру числа  1·2 + 2·3 + ... + 999·1000.

   Решение

Пусть  (P(x), Q(x)) = D(x).
Докажите, что существуют такие многочлены U(x) и V(x), что  degU (x) < deg Q(x),  deg V(x) < deg P(x)  и   P(x)U(x) + Q(x)V(x) = D(x).

   Решение

Сколько цифр у числа 2¹⁰⁰⁰?

   Решение

На сколько нулей оканчивается число  9⁹⁹⁹ + 1?

   Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 180]      

Доказать, что квадрат натурального числа не может оканчиваться на две нечётные цифры.

Прислать комментарий

Решение

Найти последнюю цифру числа  1·2 + 2·3 + ... + 999·1000.

Прислать комментарий

Решение

На сколько нулей оканчивается число  9⁹⁹⁹ + 1?

Прислать комментарий

Решение

Найти наименьшее натуральное N, дающее остаток 1 по модулю 2, 2 по модулю 3, ..., 7 по модулю 8.

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что если  a² + b²  делится на 7, то и ab делится на 7.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 13 14 15 16 17 18 19 >> [Всего задач: 180]