Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]

Задача 35723 (#М789)

Темы:	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Произволов В.В.

а) 10 точек, делящие окружность на 10 равных дуг, попарно соединены пятью хордами. Обязательно ли среди них найдутся две хорды одинаковой длины?

б) 20 точек, делящие окружность на 20 равных дуг, попарно соединены 10 хордами. Докажите, что среди них обязательно найдутся две хорды одинаковой длины?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79406 (#М791)

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Арифметические действия. Числовые тождества	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Гашков С.Б.

Петя купил в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может выполнять следующие операции: по любым числам x и y он вычисляет x + y, x − y и ${\frac{1}{x}}$ (при x ≠ 0). Петя утверждает, что он может возвести любое положительное число в квадрат с помощью своего микрокалькулятора, сделав не более 6 операций. А вы можете это сделать? Если да, то попробуйте перемножить любые два положительных числа, сделав не более 20 операций (промежуточные результаты можно записывать, неоднократно используя их в вычислениях).

Прислать комментарий Решение

Задача 97790 (#М801)

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Показательные функции и логарифмы (прочее)	]
	[	Раскладки и разбиения	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Кисиль В.В.

Докажите для каждого натурального числа n > 1 равенство: [n^1/2] + [n^1/3] + ... + [n^1/n] = [log_₂n] + [log_₃n] + ... + [log_nn].

Прислать комментарий

Решение

Задача 55380 (#М807а)

Темы:	[	Векторы	]
Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Прасолов В.В.

Из произвольной точки M внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры MK₁, MK₂, MK₃ на его стороны. Докажите, что

$\displaystyle \overrightarrow{MK_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{MO}$ ,

где O — центр треугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 97800 (#М816)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
Темы:	[	Перебор случаев	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Лисицкий А.Д.

Натуральные числа M и K отличаются перестановкой цифр.
Доказать, что
а) сумма цифр числа 2M равна сумме цифр числа 2K;
б) сумма цифр числа ^M/₂ равна сумме цифр числа ^K/₂ (если M и K чётны);
в) сумма цифр числа 5M равна сумме цифр числа 5K.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]