ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 5. Треугольники >> параграф 8. Теорема Чевы
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

На доске записано несколько последовательных натуральных чисел. Ровно 52% из них – чётные. Сколько чётных чисел записано на доске?

Вниз   Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  ctg$ \alpha$ctg$ \beta$ + ctg$ \beta$ctg$ \gamma$ + ctg$ \alpha$ctg$ \gamma$ = 1;
б)  ctg$ \alpha$ + ctg$ \beta$ + ctg$ \gamma$ - ctg$ \alpha$ctg$ \beta$ctg$ \gamma$ = 1/(sin$ \alpha$sin$ \beta$sin$ \gamma$).

ВверхВниз   Решение

а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A1, B1 и C1 так, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ABB_1\sin CAA_1}{\sin BAA_1\sin CBB_1}}$.


б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M и N так, что  $ \angle$CAM = $ \angle$ABN и  $ \angle$CBM = $ \angle$BAN. Докажите, что точки C, M и N лежат на одной прямой.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]      

  с решениями  

Задача 56929

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 6+
Классы: 9

Через точки A и D, лежащие на окружности, проведены касательные, пересекающиеся в точке S. На дуге AD взяты точки B и C. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, AB и CD — в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через точку S.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56930

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 6+
Классы: 9

Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A1, B1 и C1. Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает дугу B1C1 вписанной окружности в точке A2; точки B2 и C2 определяются аналогично. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2 пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56931

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 6+
Классы: 9

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает описанную окружность в точке A1. В сегмент, отсекаемый стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги BC в точке A1, а стороны BC — в точке A2. Точки B2 и C2 определяются аналогично. Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56932

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 6+
Классы: 9

а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A1, B1 и C1 так, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ABB_1\sin CAA_1}{\sin BAA_1\sin CBB_1}}$.


б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M и N так, что  $ \angle$CAM = $ \angle$ABN и  $ \angle$CBM = $ \angle$BAN. Докажите, что точки C, M и N лежат на одной прямой.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56933

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 6+
Классы: 9

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1, BB1 и CC1. Биссектрисы AA1 и CC1 пересекают отрезки C1B1 и B1A1 в точках M и N. Докажите, что  $ \angle$MBB1 = $ \angle$NBB1.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .