Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]

Задача 56929

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Через точки A и D, лежащие на окружности, проведены касательные, пересекающиеся в точке S. На дуге AD взяты точки B и C. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, AB и CD — в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через точку S.

Прислать комментарий Решение

Задача 56930

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A₁, B₁ и C₁. Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает дугу B₁C₁ вписанной окружности в точке A₂; точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56931

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6+
Классы: 9

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает описанную окружность в точке A₁. В сегмент, отсекаемый стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги BC в точке A₁, а стороны BC — в точке A₂. Точки B₂ и C₂ определяются аналогично. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56932

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6+
Классы: 9

а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ABB_1\sin CAA_1}{\sin BAA_1\sin CBB_1}}$ .

б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M и N так, что $\angle$ CAM = $\angle$ ABN и $\angle$ CBM = $\angle$ BAN. Докажите, что точки C, M и N лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56933

Тема:

[

Теоремы Чевы и Менелая

]

Сложность: 6+
Классы: 9

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁, BB₁ и CC₁. Биссектрисы AA₁ и CC₁ пересекают отрезки C₁B₁ и B₁A₁ в точках M и N. Докажите, что $\angle$ MBB₁ = $\angle$ NBB₁.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]