Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 5. Треугольники >> параграф 8. Теорема Чевы
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A1, B1 и C1 так, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ABB_1\sin CAA_1}{\sin BAA_1\sin CBB_1}}$.


б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M и N так, что  $ \angle$CAM = $ \angle$ABN и  $ \angle$CBM = $ \angle$BAN. Докажите, что точки C, M и N лежат на одной прямой.

Вниз   Решение

Середины M и N диагоналей AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD не совпадают. Прямая MN пересекает стороны AB и CD в точках M1 и N1. Докажите, что если MM1 = NN1, то AD| BC.

ВверхВниз   Решение

Положительные числа x, y, z таковы, что  xyz = 1.  Докажите, что  

ВверхВниз   Решение

Диагонали описанной трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Радиусы вписанных окружностей треугольников  AOD, AOB, BOC и COD равны  r1, r2, r3 и r4 соответственно. Докажите, что $ {\frac{1}{r_1}}$ + $ {\frac{1}{r_3}}$ = $ {\frac{1}{r_2}}$ + $ {\frac{1}{r_4}}$.

ВверхВниз   Решение

На сторонах AB и BC равностороннего треугольника ABC отмечены точки D и K соответственно, а на стороне AC отмечены точки E и M так, что DA + AE = KC + CM = AB. Отрезки DM и KE пересекаются. Найдите угол между ними.

ВверхВниз   Решение

В театральной труппе 60 актеров. Каждые два хотя бы раз играли в одном и том же спектакле. В каждом спектакле занято не более 30 актеров.
Какое наименьшее количество спектаклей мог поставить театр?

ВверхВниз   Решение

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.

ВверхВниз   Решение

Через точки пересечения продолжений сторон выпуклого четырехугольника ABCD проведены две прямые, делящие его на четыре четырехугольника. Докажите, что если четырехугольники, примыкающие к вершинам B и D, описанные, то четырехугольник ABCD тоже описанный.

ВверхВниз   Решение

Даны две точки A и B и окружность. Найти на окружности точку X так, чтобы прямые AX и BX отсекли на окружности хорду CD, параллельную данной прямой MN.

ВверхВниз   Решение

Внутри параллелограмма ABCD расположена точка М. Сравните периметр параллелограмма и сумму расстояний от М до его вершин.

ВверхВниз   Решение

Школьник хочет вырезать из квадрата размером 2n×2n наибольшее количество прямоугольников размером 1×(n + 1). Найти это количество для каждого натурального значения n.

ВверхВниз   Решение

Постройте точки X и Y на сторонах AB и BC треугольника ABC так, что AX = BY и XY| AC.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC проведены отрезки PQ и RS, параллельные стороне AC, и отрезок BM (рис.). Трапеции RPKL и MLSC описанные. Докажите, что трапеция APQC тоже описанная.


ВверхВниз   Решение

Есть 2018 гирек массами 1 г, 2 г, ..., 2018 г. Заяц положил на одну чашу весов две гирьки. Волк хотел двумя другими гирьками на другой чаше их уравновесить, но не смог. Какие гирьки мог взять Заяц?

ВверхВниз   Решение

На сколько частей разделяют n-угольник его диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке?

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1, BB1 и CC1. Биссектрисы AA1 и CC1 пересекают отрезки C1B1 и B1A1 в точках M и N. Докажите, что  $ \angle$MBB1 = $ \angle$NBB1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]      

  с решениями  

Задача 56929

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 6+
Классы: 9

Через точки A и D, лежащие на окружности, проведены касательные, пересекающиеся в точке S. На дуге AD взяты точки B и C. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, AB и CD — в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через точку S.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56930

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 6+
Классы: 9

Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A1, B1 и C1. Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает дугу B1C1 вписанной окружности в точке A2; точки B2 и C2 определяются аналогично. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2 пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56931

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 6+
Классы: 9

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает описанную окружность в точке A1. В сегмент, отсекаемый стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги BC в точке A1, а стороны BC — в точке A2. Точки B2 и C2 определяются аналогично. Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56932

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 6+
Классы: 9

а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A1, B1 и C1 так, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ABB_1\sin CAA_1}{\sin BAA_1\sin CBB_1}}$.


б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M и N так, что  $ \angle$CAM = $ \angle$ABN и  $ \angle$CBM = $ \angle$BAN. Докажите, что точки C, M и N лежат на одной прямой.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56933

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 6+
Классы: 9

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1, BB1 и CC1. Биссектрисы AA1 и CC1 пересекают отрезки C1B1 и B1A1 в точках M и N. Докажите, что  $ \angle$MBB1 = $ \angle$NBB1.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .