Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 7. Геометрические места точек
>>
параграф 2. ГМТ - окружность или дуга окружности
Фильтр
Выбрано 13 задач Убрать все задачи
Через вершину A правильного треугольника ABC под
углом α ( 0<α< ) к AC
проведена прямая, пересекающая BC в точке D .
Найдите отношение площади треугольника ADC к
площади треугольника ABC .
Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Их общая касательная касается первой окружности в точке B, а второй в точке C. Прямая, проходящая через точки A и B, пересекает вторую окружность в точке D. Известно, что BC = 10 см, AB = 8 см. Найдите площадь треугольника BCD.
В пространстве даны две пересекающиеся сферы разных радиусов и точка A, принадлежащая обеим сферам. Докажите, что в пространстве существует точка B, обладающая следующим свойством: если через точки A и B провести произвольную окружность, то точки ее повторного пересечения с данными сферами будут равноудалены от B.
Внутри выпуклого четырехугольника ABCD площади S
взята точка O, причем
AO2 + BO2 + CO2 + DO2 = 2S. Докажите, что
тогда ABCD — квадрат и O — его центр.
В треугольнике ABC угол A равен α, AB = AC = b. Через вершину B и центр описанной окружности проведена прямая до пересечения с прямой AC в точке D. Найдите BD.
В пирамиде ABCD точки M, F и K – середины рёбер BC, AD и CD соответственно. На прямых AM и CF взяты соответственно точки P и Q, причём
PQ || BK. Найдите отношение PQ : BK.
Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, K, L, M и N —
середины сторон AB, BC, CD и DA. Докажите, что точка пересечения
отрезков KM и LN является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Бизнесмен Борис Михайлович решил устроить с трактористом Васей гонки по шоссе. Поскольку его "Лексус" едет вдесятеро быстрее Васиного трактора, он дал Васе фору и выехал через час после Васи. После того, как Васин трактор проехал ровно половину запланированной трассы, у него отвалилась рессора, поэтому оставшуюся часть пути Вася проехал вдвое медленнее, чем первую. В результате встречи с Васиной рессорой Борису Михайловичу пришлось заехать в оказавшийся рядом сервис на 4 часа, после чего он продолжил путь вдвое медленнее, чем раньше. Докажите, что в результате он отстал от Васи не менее, чем на час.
В прямоугольном треугольнике ABC отрезок BH является высотой, опущенной на
гипотенузу, а BL — медианой в треугольнике BHC. Найдите угол LBC, если
известно, что BL = 4 и
AH =
В остроугольном треугольнике ABC наибольшая из
высот AH равна медиане BM. Докажите, что
B
60o.
Можно ли разрезать треугольник на три выпуклых многоугольника с попарно различным количеством сторон?
В окружность радиуса 3 вписана равнобедренная трапеция
с углом 45o при основании и высотой .
Найдите площадь трапеции.
Докажите, что изодинамические центры лежат на прямой KO, где O — центр
описанной окружности, K — точка Лемуана.
Задачи Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]
Задача 57144 |
|
|
Пусть AD и AE — биссектрисы внутреннего и внешнего
углов треугольника ABC и Sa — окружность с диаметром DE,
окружности Sb и Sc определяются аналогично. Докажите, что:
а) окружности Sa, Sb и Sc имеют две общие точки M и N,
причем прямая MN проходит через центр описанной окружности
треугольника ABC;
б) проекции точки M (и точки N) на стороны треугольника ABC
образуют правильный треугольник.
|
|
Решение |
Задача 57145 |
|
|
Докажите, что изодинамические центры лежат на прямой KO, где O — центр
описанной окружности, K — точка Лемуана.
|
|
Решение |
Задача 57146 |
|
|
Треугольник ABC правильный, M — некоторая точка.
Докажите, что если числа AM, BM и CM образуют геометрическую
прогрессию, то знаменатель этой прогрессии меньше 2.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]
