Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В каждой клетке доски 5×5 клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?

Вниз   Решение


Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC, причем  OA $ \geq$ OB $ \geq$ OC. Докажите, что OA $ \geq$ 2r и  OB $ \geq$ r$ \sqrt{2}$.

ВверхВниз   Решение


На биссектрисе внешнего угла C треугольника ABC взята точка M, отличная от C. Докажите, что MA + MB > CA + CB.

ВверхВниз   Решение


а) Постройте с помощью одного циркуля отрезок, который в два раза длиннее данного отрезка.
б) Постройте с помощью одного циркуля отрезок, который в n раз длиннее данного отрезка.

ВверхВниз   Решение


Точка A расположена на расстоянии 50 см от центра круга радиусом 1 см. Разрешается отразить точку симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг. Докажите, что: а) за 25 отражений точку A можно к загнатьк внутрь данного круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.

ВверхВниз   Решение


На окружности отметили 4n точек и окрасили их через одну в красный и синий цвета. Точки каждого цвета разбили на пары, а точки каждой пары соединили отрезками того же цвета. Докажите, что если никакие три отрезка не пересекаются в одной точке, то найдется по крайней мере n точек пересечения красных отрезков с синими.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что  ha $ \leq$ (a/2)ctg($ \alpha$/2).

ВверхВниз   Решение


Даны две окружности S1, S2 и прямая l. Проведите прямую l1, параллельную прямой l, так, чтобы:
а) расстояние между точками пересечения l1 с окружностями S1 и S2 имело заданную величину a;
б) S1 и S2 высекали на l1 равные хорды;
в) S1 и S2 высекали на l1 хорды, сумма (или разность) длин которых имела бы заданную величину a.

ВверхВниз   Решение


Дно прямоугольной коробки выложено плитками размером 2×2 и 1×4. Плитки высыпали из коробки и потеряли одну плитку 2×2. Вместо нее достали плитку 1×4. Докажите, что выложить дно коробки плитками теперь не удастся.

ВверхВниз   Решение


Дана прямая MN и две точки A и B по одну сторону от нее. Постройте на прямой MN точку X так, что  ∠AXM = 2∠BXN.

ВверхВниз   Решение


Постройте треугольник ABC по: а) c, a - b (a > b) и углу C; б) c, a + b и углу C.

ВверхВниз   Решение


В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса BK и высота CH. Может ли площадь треугольника, образованного точками пересечения этих отрезков, быть больше 0, 499SABC?

ВверхВниз   Решение


Выпуклый n-угольник разбит на треугольники непересекающимися диагоналями, причем в каждой его вершине сходится нечетное число треугольников. Докажите, что n делится на 3.

ВверхВниз   Решение


Пусть n$ \ge$3. Существуют ли n точек, не лежащих на одной прямой, попарные расстояния между которыми иррациональны, а площади всех треугольников с вершинами в них рациональны?

ВверхВниз   Решение


Пусть M и N — середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF, P — точка пересечения отрезков AM и BN.
а) Найдите величину угла между прямыми AM и BN.
б) Докажите, что SABP = SMDNP.

ВверхВниз   Решение


Дан четырёхугольник ABCD. Впишите в него параллелограмм с заданными направлениями сторон.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 101]      



Задача 57200  (#08.006)

Темы:   [ Метод ГМТ ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Дан четырёхугольник ABCD. Впишите в него параллелограмм с заданными направлениями сторон.

Прислать комментарий     Решение

Задача 57201  (#08.007)

Тема:   [ Вписанный угол (построения) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Постройте треугольник по a, mc и углу A.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57202  (#08.008)

Тема:   [ Вписанный угол (построения) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Даны окружность и две точки A и B внутри ее. Впишите в окружность прямоугольный треугольник так, чтобы его катеты проходили через данные точки.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57203  (#08.009)

Тема:   [ Вписанный угол (построения) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Продолжения сторон AB и CD прямоугольника ABCD пересекают некоторую прямую в точках M и N, а продолжения сторон AD и BC пересекают ту же прямую в точках P и Q. Постройте прямоугольник ABCD, если даны точки M, N, P, Q и длина a стороны AB.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57204  (#08.010)

Тема:   [ Вписанный угол (построения) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Постройте треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведенным из одной вершины.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 101]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .