Версия для печати
Убрать все задачи

---

Может ли квадрат какого-либо натурального числа начинаться с 1983 девяток?

   Решение

---

Можно ли из последовательности  1, ½, ⅓, ... выбрать (сохраняя порядок)
  а) сто чисел,
  б) бесконечную подпоследовательность чисел,
из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих (a_k = a_k–2 – a_k–1)?

   Решение

---

В квадрате 3×3 расставлены числа (см. рис.). Известно, что квадрат магический: сумма чисел в каждом столбце, в каждой строке и на каждой диагонали одна и та же. Докажите, что
  а)  2(a + c + g + i) = b + d + f + h + 4e.
  б)  2(a³ + c³ + g³ + i³) = b³ + d³ + f ³ + h³ + 4e³.

   Решение

---

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a₁ – сумма исходных чисел, a₂ – сумма квадратов исходных чисел, a₃ – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
  а) Могло ли случиться, что до a₅ последовательность убывает  (a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > a₅),  а начиная с a₅ – возрастает  (a₅ < a₆ < a₇ < ...)?
  б) А могло ли случиться наоборот: до a₅ последовательность возрастает, а начиная с a₅ – убывает?

   Решение

---

При любом натуральном n из чисел aⁿ, bⁿ и cⁿ можно составить треугольник. Докажите, что среди чисел a, b и c есть два равных.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57309

Тема:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 2 Классы: 8

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что  a = y + z, b = x + z и c = x + y, где x, y и z — положительные числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57310

Тема:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 2 Классы: 8

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что  a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57311

Тема:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8

При любом натуральном n из чисел aⁿ, bⁿ и cⁿ можно составить треугольник. Докажите, что среди чисел a, b и c есть два равных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57312

Тема:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57313

Тема:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями