Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 13. Векторы
>>
параграф 4. Суммы векторов
Фильтр
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Обозначим через S сумму следующего ряда:
Преобразовав равенство (12.1 ), можно получить уравнение, из которого находится S:
Наконец, переставив местами соседние слагаемые, получаем еще одно
значение S:
Решение
Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R.
а) Пусть Sa — окружность радиуса R с центром в ортоцентре треугольника BCD; окружности Sb, Sc и Sd определяются аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке.
б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников ABC, BCD, CDA и DAB пересекаются в одной точке.
Решение
Убрать все задачи
Обозначим через S сумму следующего ряда:
Преобразовав равенство (12.1 ), можно получить уравнение, из которого находится S:
S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 +...) = 1 - S 
S = 
.
Сумму S можно также найти
объединяя слагаемые ряда (12.1
) в пары:
| S = (1 - 1) + (1 - 1) +...= 0 + 0 +...= 0; |
| S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) -...= 1 - 0 - 0 -...= 1. |
S = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...= - 1 + (1 - 1) + (1 - 1) +...= - 1.
Итак, действуя четырьмя разными способами, мы нашли четыре
значения суммы S:
S = = 0 = 1 = - 1.
Какое же значение
имеет сумма S в действительности?
РешениеЧетырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R.
а) Пусть Sa — окружность радиуса R с центром в ортоцентре треугольника BCD; окружности Sb, Sc и Sd определяются аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке.
б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников ABC, BCD, CDA и DAB пересекаются в одной точке.
Решение
Задачи
Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]
Внутри треугольника ABC взята точка O. Докажите, что
Четырехугольник ABCD вписанный. Пусть Ha — ортоцентр
треугольника BCD, Ma — середина отрезка AHa;
точки Mb, Mc и Md определяются аналогично. Докажите, что
точки Ma, Mb, Mc и Md совпадают.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R.
а) Пусть Sa — окружность радиуса R с центром в ортоцентре треугольника BCD; окружности Sb, Sc и Sd определяются аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке.
б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников ABC, BCD, CDA и DAB пересекаются в одной точке.
Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]
Задача 57711 |
|
|
SBOC . 
+ SAOC . 
+ SAOB . 
= 
.
|
|
Решение |
Задача 57715 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 57716 |
|
|
а) Пусть Sa — окружность радиуса R с центром в ортоцентре треугольника BCD; окружности Sb, Sc и Sd определяются аналогично. Докажите, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке.
б) Докажите, что окружности девяти точек треугольников ABC, BCD, CDA и DAB пересекаются в одной точке.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]
