Каталог по источникам

Выбрано 10 задач

Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность.

Точка X лежит внутри треугольника ABC, $\alpha$ = S_BXC, $\beta$ = S_CXA и $\gamma$ = S_AXB. Пусть A₁, B₁ и C₁ — проекции точек A, B и C на произвольную прямую l. Докажите, что длина вектора $\alpha$ $\overrightarrow{AA_1}$ + $\beta$ $\overrightarrow{BB_1}$ + $\gamma$ $\overrightarrow{CC_1}$ равна ( $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ )d, где d — расстояние от точки X до прямой l.

Решение

Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, не проходящей через вершины треугольника, является коникой, проходящей через вершины треугольника.

Решение

Постройте окружность, касающуюся трех данных окружностей (задача Аполлония).

Решение

Докажите, что множество точек, равноудаленных от данной точки и данной окружности, представляет собой эллипс, гиперболу или луч.

Решение

Пусть a = (a₁, a₂) и b = (b₁, b₂). Докажите, что a $\vee$ b = a₁b₂ - a₂b₁.

Решение

Докажите, что множество всех центров окружностей, проходящих через данную точку и касающихся данной окружности (или прямой), не содержащей данную точку, представляет собой эллипс или гиперболу (или параболу).

Решение

На плоскости даны прямая l и точки A и B, лежащие по разные стороны от нее. Постройте окружность, проходящую через точки A и B так, чтобы прямая l высекала на ней хорду наименьшей длины.

Решение

Даны прямая l и точки P и Q, лежащие по одну сторону от нее. На прямой l берем точку M и в треугольнике PQM проводим высоты PP' и QQ'. При каком положении точки M длина отрезка P'Q' минимальна?

Решение

Докажите, что:
а) ( $\lambda$ a) $\vee$ b = $\lambda$ (a $\vee$ b);
б) a $\vee$ (b + c) = a $\vee$ b + a $\vee$ c.

Решение

Задача 57730

Задача 57731

Задача 57732

Задача 57733

Задача 57734