Мачеха, уезжая на бал, дала Золушке мешок, в котором были перемешаны мак и просо, и велела перебрать их. Когда Золушка уезжала на бал, она оставила три мешка: в одном было просо, в другом  — мак, а в третьем  — ещё не разобранная смесь. Чтобы не перепутать мешки, Золушка к каждому из них прикрепила по табличке: "Мак", "Просо" и "Смесь". Мачеха вернулась с бала первой и нарочно поменяла местами все таблички так, чтобы на каждом мешке оказалась неправильная надпись. Ученик Феи успел предупредить Золушку, что теперь ни одна надпись на мешках не соответствует действительности. Тогда Золушка достала только одно-единственное зёрнышко из одного мешка и, посмотрев на него, сразу догадалась, где что лежит. Как она это сделала?

   Решение

В городе Удоеве выборы мэра проходят следующим образом. Если в очередном туре голосования никто из кандидатов не набрал больше половины голосов, то проводится следующий тур с участием всех кандидатов, кроме последнего по числу голосов. (Никогда два кандидата не набирают голосов поровну; если кандидат набрал больше половины голосов, то он становится мэром и выборы заканчиваются.) Каждый избиратель в каждом туре голосует за одного из кандидатов. Если это кандидат вышел в следующий тур, то избиратель снова голосует за него. Если же кандидат выбыл, то все его избиратели голосуют за одного и того же кандидата из числа оставшихся.
На очередных выборах баллотировалось 2002 кандидата. Мэром стал Остап Бендер, занявший в первом туре k-е место по числу голосов. Определите наибольшее возможное значение k, если Остап Бендер был избран
а) в 1002-м туре;
б) в 1001-м туре.

   Решение

а) Олег перемножил какие-то семь подряд идущих чисел. Верно ли, что у него получилось число, оканчивающееся на ровно один ноль?
б) Саша решил перемножить первые 57 чисел:  1·2·...·56·57.  У него получилось число, оканчивающееся на 12 нулей. Правильно ли он всё вычислил?

   Решение

а) На плоскости даны четыре выпуклые фигуры, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все они имеют общую точку.
б) На плоскости дано n выпуклых фигур, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что все n фигур имеют общую точку (теорема Хелли).

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

а) На плоскости даны четыре выпуклые фигуры, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все они имеют общую точку.
б) На плоскости дано n выпуклых фигур, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что все n фигур имеют общую точку (теорема Хелли).

Прислать комментарий

Решение

На плоскости дано n точек, причем любые три из них можно накрыть кругом радиуса 1. Докажите, что тогда все n точек можно накрыть кругом радиуса 1.

Прислать комментарий

Решение

а) Дан выпуклый многоугольник. Известно, что для любых трёх его сторон можно выбрать точку O внутри многоугольника так, что перпендикуляры, опущенные из точки O на эти три стороны, попадают на сами стороны, а не на их продолжения. Докажите, что тогда такую точку O можно выбрать для всех сторон одновременно.
б) Докажите, что в случае выпуклого четырёхугольника такую точку O можно выбрать, если её можно выбрать для любых двух сторон.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что внутри любого выпуклого семиугольника есть точка, не принадлежащая ни одному из четырехугольников, образованных четверками его соседних вершин.

Прислать комментарий

Решение

Дано несколько параллельных отрезков, причем для любых трех из них найдется прямая, их пересекающая. Докажите, что найдется прямая, пересекающая все отрезки.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]