Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точки Z и W изогонально сопряжены относительно правильного треугольника. При инверсии относительно описанной окружности точки Z и W переходят в Z^* и W^*. Докажите, что середина отрезка Z^*W^* лежит на вписанной окружности.

   Решение

---

Рассматриваются всевозможные пары  (a, b)  натуральных чисел, где  a < b.  Некоторые пары объявляются чёрными, остальные – белыми.
Можно ли это сделать так, чтобы для любых натуральных a и d среди пар  (a, a + d),  (a, a + 2d),  (a + d, a + 2d)  встречались и чёрные, и белые?

   Решение

---

Вырезаем из прямоугольника. Из прямоугольника 13 × 7 вырежьте 15 прямоугольников 2 × 3.

   Решение

---

Существует ли последовательность натуральных чисел, в которой каждое натуральное число встречается ровно один раз и при этом для любого  k = 1, 2, 3, ...  сумма первых k членов последовательности делится на k?

   Решение

---

В море плавает предмет, имеющий форму выпуклого многогранника.
Может ли случиться, что 90% его объёма находится ниже уровня воды и при этом больше половины его поверхности находится выше уровня воды?

   Решение

---

Докажите тождество: 1² + 3² +...+ (2n - 1)² = n(2n - 1)(2n + 1).

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60281  (#01.008)

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 2 Классы: 7,8,9

Докажите тождество: 1 + 3 + 5 +...+ (2n – 1) = n².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60282  (#01.009)

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Докажите тождество: 1² + 2² +...+ n² = n(n + 1)(2n + 1).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60283  (#01.010)

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9,10

Докажите тождество: 1² + 3² +...+ (2n - 1)² = n(2n - 1)(2n + 1).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60284  (#01.011)

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Докажите тождество: 1³ + 2³ +...+ n³ = (1 + 2 +...+ n)².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60285  (#01.012)

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Докажите тождество: 1 ^. 2 ^. 3 + 2 ^. 3 ^. 4 +...+ n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 33]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями