ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 1. Метод математической индукции
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Отметьте несколько точек и несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежало ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходило ровно три отмеченные прямые.

Вниз   Решение

В правильной пирамиде SMNPQ ( S – вершина) точки K и F – середины рёбер PQ и QM соответственно, точка E лежит на отрезке SK , причём SK = 4 , SE = . Расстояние от точки S до прямой EF равно . Найдите объём пирамиды. Дана сфера радиуса 1 с центром в точке S . Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдры ABCD такие, что точки A и B лежат на прямой EF , а прямая CD касается сферы в одной из точек отрезка CD . Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.

ВверхВниз   Решение

Докажите тождество: $ {\dfrac{1^2}{1\cdot3}}$ + $ {\dfrac{2^2}{3\cdot5}}$ +...+ $ {\dfrac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}}$ = $ {\dfrac{n(n+1)}{2(2n+1)}}$.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]      

  с решениями  

Задача 60284  (#01.011)

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

Докажите тождество: 13 + 23 +...+ n3 = (1 + 2 +...+ n)2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60285  (#01.012)

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

Докажите тождество: 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 +...+ n(n + 1)(n + 2) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$n(n + 1)(n + 2)(n + 3).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60286  (#01.013)

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Докажите тождество: $ {\dfrac{1^2}{1\cdot3}}$ + $ {\dfrac{2^2}{3\cdot5}}$ +...+ $ {\dfrac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}}$ = $ {\dfrac{n(n+1)}{2(2n+1)}}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 102829  (#01.014)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Произведения и факториалы ]
Сложность: 3
Классы: 7,8

Найдите сумму   1·1! + 2·2! + 3·3! + … + n·n!.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60288  (#01.015)

Тема:   [ Системы счисления (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9,10

Факториальная система счисления. Докажите, что каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде

n = a1 . 1! + a2 . 2! + a3 . 3! +...,

где 0 $ \leqslant$ a1 $ \leqslant$ 1, 0 $ \leqslant$ a2 $ \leqslant$ 2, 0 $ \leqslant$ a3 $ \leqslant$ 3...

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам