Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD , каждое ребро которой равно b , построено сечение плоскостью, параллельной диагонали основания BD и боковому ребру SA и пересекающей ребро AB пирамиды. Периметр многоугольника, полученного в этом сечении, равен 2(2++) . Найдите численное значение b , если нижнее основание сечения равно .

Вниз   Решение


Метод Ньютона (см. задачу 9.77) не всегда позволяет приблизиться к корню уравнения f (x) = 0. Для многочлена f (x) = x(x - 1)(x + 1) найдите начальное условие x0 такое, что f (x0)$ \ne$x0 и x2 = x0.

ВверхВниз   Решение


В правильную четырёхугольную пирамиду SABCD ( S – вершина) вписана сфера. Сторона основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна 4. Точка E выбрана на ребре SC , причём SE=SC , а точка F является ортогональной проекцией точки E на плоскость ABCD . Через точку E проведена касательная к сфере, пересекающая плоскость BSD в точке P , причём PEF = arccos . Найдите PE .

ВверхВниз   Решение


Высота SO правильной четырёхугольной пирамиды SABCD образует с боковым ребром угол α , объём этой пирамиды равен V . Вершина второй правильной четырёхугольной пирмиды находится в точке S , центр основания – в точке C , а одна из вершин основания лежит на прямой SO . Найдите объём общей части этих пирамид.

ВверхВниз   Решение


Перепишите формулы Муавра (см. задачу 61088), используя вместо тригонометрических функций комплексную экспоненту.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки X до вершин правильного n-угольника будет наименьшей, если X – центр n-угольника.

ВверхВниз   Решение


  Пусть fk,l(x) – производящая функция последовательности Pk,l(n) из задачи 61525:   fk,l(x) = Pk,l(0) + xPk,l(1) + ... + xklPk,l(kl).

  а) Докажите равенства:  fk,l(x) = fk–1,l(x) + xkfk,l–1(x) = fk,l–1(x) + xlfk–1,l(x).

  б) Докажите, что функции fk,l(x) совпадают с многочленами Гаусса gk,l(x) (определение многочленов Гаусса смотри здесь).

ВверхВниз   Решение


В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD , каждое ребро которой равно 2, построено сечение плоскостью, параллельной диагонали основания AC и боковому ребру SB пирамиды и пересекающей ребро AB . Найдите периметр многоугольника, полученного в этом сечении, если нижнее основание сечения равно .

ВверхВниз   Решение


Пусть точка A' лежит на одной из сторон трапеции ABCD , причём прямая AA' делит площадь трапеции пополам. Точки B' , C' и D' определяются аналогично. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольников ABCD и A'B'C'D' симметричны относительно середины средней линии трапеции ABCD .

ВверхВниз   Решение


На двух параллельных прямых a и b выбраны точки A1, A2, ..., Am и B1, B2, ..., Bn соответственно и проведены все отрезки вида AiBj
(1 ≤ im,  1 ≤ jn).  Сколько будет точек пересечения, если известно, что никакие три из этих отрезков в одной точке не пересекаются?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 58]      



Задача 60380  (#02.046)

Тема:   [ Классическая комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9

Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию из восьми человек.
Сколькими способами можно составить комиссию, если в неё должен входить хотя бы один математик?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60381  (#02.047)

Темы:   [ Сочетания и размещения ]
[ Системы точек и отрезков (прочее) ]
Сложность: 2
Классы: 7,8

На плоскости дано n точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60382  (#02.048)

Темы:   [ Сочетания и размещения ]
[ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

На плоскости дано n прямых общего положения. Чему равно число образованных ими треугольников?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60383  (#02.049)

Темы:   [ Сочетания и размещения ]
[ Системы точек и отрезков (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9

На двух параллельных прямых a и b выбраны точки A1, A2, ..., Am и B1, B2, ..., Bn соответственно и проведены все отрезки вида AiBj
(1 ≤ im,  1 ≤ jn).  Сколько будет точек пересечения, если известно, что никакие три из этих отрезков в одной точке не пересекаются?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60384  (#02.050)

 [Ключи от сейфа]
Темы:   [ Сочетания и размещения ]
[ Криптография ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Международная комиссия состоит из девяти человек. Материалы комиссии хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф, сколько ключей для них нужно изготовить и как их разделить между членами комиссии, чтобы доступ к сейфу был возможен тогда и только тогда, когда соберутся не менее шести членов комиссии?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 58]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .