Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что произвольное дробно-линейное отображение вида    с  δ = ad – bc ≠ 0  может быть получено композицией параллельных переносов и отображения вида  w = ^R/_z.

   Решение

---

Правильный n-угольник вписан в единичную окружность. Докажите, что
а) сумма квадратов длин всех сторон и всех диагоналей равна n²;
б) сумма длин всех сторон и всех диагоналей равна  n ctg ^π/_2n;
в) произведение длин всех сторон и всех диагоналей равно  n^n/2.

   Решение

---

Докажите, что дробно-линейные отображения являются взаимно-однозначными отображениями расширенной комплексной плоскости.

   Решение

---

Докажите, что числа Ферма  f_n = 2²ⁿ + 1  при  n > 1  не представимы в виде суммы двух простых чисел.

   Решение

---

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число  aⁿ + 1  простое, то a чётно и  n = 2^k.
(Числа вида  f_k = 2^2k + 1  называются числами Ферма.)

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60478  (#03.026)  [Числа Ферма]

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число  aⁿ + 1  простое, то a чётно и  n = 2^k.
(Числа вида  f_k = 2^2k + 1  называются числами Ферма.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60479  (#03.027)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Пусть  f_n = 2²ⁿ + 1.  Докажите, что  f_n  делит  2^f_n – 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60480  (#03.028)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что числа Ферма  f_n = 2²ⁿ + 1  при  n > 1  не представимы в виде суммы двух простых чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60481  (#03.029)  [Числа Мерсенна]

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число aⁿ – 1 простое, то  a = 2  и n – простое.
(Числа вида  q = 2ⁿ – 1  называются числами Мерсенна.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60482  (#03.030)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями