Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]

Задача 78707 (#03.092)

Тема:

[

Количество и сумма делителей числа

]

Сложность: 3
Классы: 8

Даны два натуральных числа m и n. Выписываются все различные делители числа m – числа a, b, ..., k – и все различные делители числа n – числа s, t, ..., z. (Само число и 1 тоже включаются в число делителей.) Оказалось, что a + b + ... + k = s + t + ... + z и ¹/_a + ¹/_b + ... + ¹/_k = ¹/_s + ¹/_t + ... + ¹/_z.
Доказать, что m = n.

Решение

Если d – делитель числа n, то ⁿ/_d – тоже делитель числа n. Следовательно, наборы чисел (a, b, ..., k) и (ⁿ/_a, ⁿ/_b, ..., ⁿ/_k) совпадают, откуда
ⁿ/_a + ⁿ/_b + ... + ⁿ/_k = a + b + ... + k.
Аналогично ^m/_s + ^m/_t + ... + ^m/_z = s + t + ... + z.
Деля одно из полученных равенств на другое, получаем n = m, что и требовалось доказать.

Прислать комментарий

Задача 60545 (#03.093)

Тема:

[

Количество и сумма делителей числа

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Пусть (m, n) > 1. Что больше τ(mn) или τ(m)τ(n)? Исследуйте тот же вопрос для функции σ(n).

Решение

Из мультипликативности функций τ(n) и σ(n) следует, что для обснования ответа достаточно проверить неравенства для случая, когда числа m и n – степени одного и того же простого числа. Пусть m = p^α, n = p^β. Тогда (см. задачу 60537) τ(m)τ(n) = (α + 1)(β + 1) > α + β + 1 = τ(mn);
σ(m)σ(n) > σ(mn) ⇔ (p^α+1 – 1)(p^β+1 – 1) > (p^α+β+1 – 1)(p – 1) ⇔ p^α+β+1 + p > p^α+1 + p^β+1 ⇔ p(p^α – 1)(p^β – 1) > 0, а последнее неравенство очевидно.

Ответ

τ(mn) < τ(m)τ(n); σ(mn) < σ(m)σ(n).

Прислать комментарий

Задача 60546 (#03.094)

[Совершенные числа]

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
Темы:	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Число n называется совершенным, если σ(n) = 2n.
Докажите, что если 2^k – 1 = p – некоторое простое число Мерсенна, то n = 2^k–1(2^k – 1) – совершенное число.

Подсказка

Воспользуйтесь формулой для σ(n) из задачи 60537.

Прислать комментарий

Задача 60547 (#03.095)

[Теорема Эйлера]

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
Темы:	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что если n – чётное совершенное число, то оно имеет вид n = 2^k–1(2^k – 1), и p = 2^k – 1 – простое число Мерсенна.

Решение

Представим n в виде n = 2^k–1b, где b – нечётное число, k ≥ 2. Тогда 2^kb = 2n = σ(n) = σ(2^k–1)σ(b) = (2^k – 1)σ(b).
Отсюда b = (2^k – 1)c, σ(b) = 2^kc = b + c.
Если c ≠ 1, то у числа b существует по крайней мере три положительных делителя: b, c и 1. В этом случае σ(b) ≥ 1 + b + c, что противоречит равенству σ(b) = b + c.
Поэтому c = 1, σ(b) = b + 1, то есть b = 2^k – 1 – простое число. Согласно задаче 60481 это возможно только при простых значениях показателя k. Таким образом, n имеет вид 2^p–1(2^p – 1), где p и b = 2^p – 1 – простые числа.

Прислать комментарий

Задача 60548 (#03.096)

[Дружественные числа]

Темы:	[	Количество и сумма делителей числа	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей числа m равна n и, наоборот, сумма собственных делителей числа n равна m. Другими словами, числа m и n являются дружественными, если σ(m) – m = n и σ(n) – n = m.
Докажите, что если все три числа p = 3·2^k–1 – 1, q = 3·2^k – 1 и r = 9·2^2k–1 – 1 – простые, то числа m = 2^kpq и n = 2^kr – дружественные. Постройте примеры дружественных чисел.

Ответ

220 = 2²·5·11 и 284 = 2²·71; 17296 = 2⁴·23·47 и 18416 = 2⁴·1151.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]