Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?

Вниз   Решение


Человек имеет 10 друзей и в течение нескольких дней приглашает некоторых из них в гости так, что компания ни разу не повторяется (в какой-то из дней он может не приглашать никого). Сколько дней он может так делать?

ВверхВниз   Решение


Сколькими способами можно переставить буквы слова "ЭПИГРАФ" так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке?

ВверхВниз   Решение


В вершинах правильных многоугольников записываются числа 1 и 2. Сколько существует таких многоугольников, что сумма чисел, стоящих в вершинах, равна n ( n $ \geqslant$ 3)? Две расстановки чисел, которые можно совместить поворотом, не отождествляются.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что число Фибоначчи Fn совпадает с ближайшим целым числом к  ,  то есть  Fn = + .

ВверхВниз   Решение


Докажите следующий вариант формулы Бине:  

ВверхВниз   Решение


Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из пяти человек.
Сколькими способами можно выбрать эту команду так, чтобы в нее вошло не более трёх юношей?

ВверхВниз   Решение


Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трёх букв Б?

ВверхВниз   Решение


Кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестёрка. Сколько их?

ВверхВниз   Решение


Решите в целых числах уравнения:   а)  x² – xy – y² = 1;   б)  x² – xy – y² = –1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



Задача 60585  (#03.133)

Тема:   [ Числа Фибоначчи ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Определение. Последовательность чисел Люка
{L0, L1, L2, ...} = {2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, ...}
задается равенствами L0=2, L1=1, Ln=Ln-1+ Ln-2 при n>1.
Докажите, что числа Люка связаны с числами Фибоначчи соотношениями:
а) Ln = Fn - 1 + Fn + 1;
б) Fn = Ln - 1 + Ln + 1;
в) F2n = Ln . Fn;
г) Ln + 12 + Ln2 = 5F2n + 1;
д) Fn + 2 + Fn - 2 = 3Fn.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60586  (#03.134)

Тема:   [ Числа Фибоначчи ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

В вершинах правильных многоугольников записываются числа 1 и 2. Сколько существует таких многоугольников, что сумма чисел, стоящих в вершинах, равна n ( n $ \geqslant$ 3)? Две расстановки чисел, которые можно совместить поворотом, не отождествляются.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60587  (#03.135)

Тема:   [ Числа Фибоначчи ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Последовательность чисел Люка
{L0, L1, L2, ...} = {2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, ...}
задается равенствами L0=2, L1=1, Ln=Ln-1+ Ln-2 при n>1.
Выразите Ln в замкнутой форме через $ \varphi$ и $ \widehat{\varphi}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60588  (#03.136)

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ]
[ Числа Фибоначчи ]
Сложность: 6
Классы: 10,11

Докажите равенства
а) $ \sqrt[4]{\dfrac{7+3\sqrt5}{2}}$ - $ \sqrt[4]{\dfrac{7-3\sqrt5}{2}}$ = 1;
б) $ \sqrt[5]{\dfrac{11+5\sqrt5}{2}}$ + $ \sqrt[9]{\dfrac{76-34\sqrt5}{2}}$ = 1.
Найдите общую формулу, для которой данные равенства являются частными случаями.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60589  (#03.137)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Числа Фибоначчи ]
[ Метод спуска ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Решите в целых числах уравнения:   а)  x² – xy – y² = 1;   б)  x² – xy – y² = –1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 35]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .