Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 5. Числа, дроби, системы счисления >> параграф 3. Двоичная и троичная системы счисления
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть a и b – два положительных числа, и  a < b.  Определим две последовательности чисел {an} и {bn} формулами:

a0 = a,   b0 = b,   an+1 = ,   bn+1 =   (n ≥ 0).

  а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.
Этот предел называется арифметико-гармоническим средним чисел a и b.
  б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел a и b.
  в) Пусть  a = 1,  b = k.  Как последовательность {bn} связана с последовательностью {xn} из задачи 61299?

Вниз   Решение

Докажите, что для плоского графа справедливо неравенство  2E ≥ 3F.

ВверхВниз   Решение

С какой гарантированной точностью вычисляется $ \sqrt{k}$ при помощи алгоритма задачи 9.48 после пяти шагов?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что связный граф, имеющий не более двух нечётных вершин, можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз.

ВверхВниз   Решение

Найти все прямоугольники, которые можно разрезать на 13 равных квадратов.

ВверхВниз   Решение

В стране Озёрная семь озер, соединённых между собой десятью непересекающимися каналами, причём от каждого озера можно доплыть до любого другого. Сколько в этой стране островов?

ВверхВниз   Решение

Игра ``Ним''. Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять любое (ненулевое) количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто взял последний камень. Для анализа игры каждому набору кучек камней m1, m2, ..., ml поставим в соответствие его ним сумму (5.1 ).
а) Докажите, что если игрок делает ход из позиции с нулевой ним-суммой, то в результате получается позиция с ним-суммой n$ \ne$ 0.
б) Докажите, что из позиции с ненулевой ним-суммой всегда можно сделать ход в позицию с ним-суммой n = 0.
в) Опишите выигрышную стратегию в игру ``Ним''.
г) Какой следует сделать ход, если перед вами три кучки: 3, 4 и 5 камней?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

  с решениями  

Задача 60914  (#05.076)

Тема:   [ Ним-сумма ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Ним-сумма. Будем говорить, что число n является ним-суммой чисел m и k ( m $ \oplus$ k = n), если оно получается из чисел m и k после следующих преобразований.
1) m и k записываются в двоичной системе счисления

m = (ms...m1m0)2,        k = (ks...k1k0)2

(меньшее число дополняется спереди нулями).
2) Полученные наборы цифр как векторы складываются покомпонентно по модулю 2:

(ms,..., m1, m0) + (ks,..., k1, k0) $\displaystyle \equiv$ (ns,..., n1, n0)(mod 2).

3) Набор цифр (ns,..., n1, n0) переводится в число n:

(ns...n1n0)2 = n.


Например, 4 $ \oplus$ 7 = 3, так как

4 = (100)2,    7 = (111)2,    (1, 0, 0) + (1, 1, 1) $\displaystyle \equiv$ (0, 1, 1)(mod 2),    (011)2 = 3.

Докажите, что ним-сумма удовлетворяет следующим свойствам:
а) m $ \oplus$ m = 0; б) m $ \oplus$ k = k $ \oplus$ m; в) (m $ \oplus$ t) $ \oplus$ k = m $ \oplus$ (t $ \oplus$ k);
г) если n$ \ne$ 0 и

m1 $\displaystyle \oplus$ m2 $\displaystyle \oplus$...$\displaystyle \oplus$ ml = n, (5.1)

то найдется такой номер j ( 1 $ \leqslant$ j $ \leqslant$ l), для которого mj $ \oplus$ n < mj.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60915  (#05.077)

 [Игра "Ним"]
Темы:   [ Ним-сумма ]
[ Выигрышные и проигрышные позиции ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Игра ``Ним''. Имеется несколько кучек камней. Двое по очереди берут из них камни. За один ход разрешается взять любое (ненулевое) количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто взял последний камень. Для анализа игры каждому набору кучек камней m1, m2, ..., ml поставим в соответствие его ним сумму (5.1 ).
а) Докажите, что если игрок делает ход из позиции с нулевой ним-суммой, то в результате получается позиция с ним-суммой n$ \ne$ 0.
б) Докажите, что из позиции с ненулевой ним-суммой всегда можно сделать ход в позицию с ним-суммой n = 0.
в) Опишите выигрышную стратегию в игру ``Ним''.
г) Какой следует сделать ход, если перед вами три кучки: 3, 4 и 5 камней?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60916  (#05.078)

Темы:   [ Ним-сумма ]
[ Инварианты ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Марсианские амебы II. При помощи ним-сумм (смотри задачу 5.76) можно исследовать самые разные игры и процессы. Например, можно получить еще одно решение задачи 4.20.
Постройте на множестве марсианских амеб {A, B, C} функцию f, для которой выполнялись бы равенства

f (A) $\displaystyle \oplus$ f (B) = f (C),    f (A) $\displaystyle \oplus$ f (C) = f (B),    f (B) $\displaystyle \oplus$ f (C) = f (A).

Какие рассуждения остается провести, чтобы решить задачу про амеб?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60917  (#05.079)

Темы:   [ Ним-сумма ]
[ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Проанализируйте при помощи ним-сумм игру ``Йога'' из задачи 4.21.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60918  (#05.080)

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Ним-сумма ]
[ Выигрышные и проигрышные позиции ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Игра ``Шоколадка''. Имеется шоколадка, состоящая из 6×8 = 48 долек. Одна из долек отмечена:


\begin{picture} (80,42)\multiput(0,0)(0,7){7}{\line(1,0){80}} \multiput(0,0)(10,0){9}{\line(0,1){42}} \put(23,8.5){$x$} \end{picture}
Двое игроков по очереди разламывают ее по какой-нибудь прямой, делящей шоколадку на дольки, и съедают ту половину, которая не содержит отмеченной дольки. Проигрывает тот, кто не может сделать хода, то есть ему остается лишь одна отмеченная долька.
а) Опишите выигрышную стратегию в этой игре. Кто из игроков выиграет при данных начальных условиях?
б) При каких размерах шоколадки начинающий игрок выигрывает при любом расположении отмеченной дольки?
в) При каких размерах шоколадки начинающий игрок проигрывает при любом расположении отмеченной дольки?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .