Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости даны две точки A и B. Пусть C – некоторая точка плоскости, равноудалённая от точек A и B. Построим последовательность точек
C₁ = C, C₂, C₃, ...,  где C_n+1 – центр описанной окружности треугольника ABC_n. При каком положении точки C
  а) точка C_n попадёт в середину отрезка AB (при этом C_n+1 и дальнейшие члены последовательности не определены)?
  б) точка C_n совпадает с C?

   Решение

---

Прямая OA касается окружности в точке A, а хорда BC параллельна OA. Прямые OB и OC вторично пересекают окружность в точках K и L.
Докажите, что прямая KL делит отрезок OA пополам.

   Решение

---

Через вершину A квадрата ABCD проведены прямые l₁ и l₂, пересекающие его стороны. Из точек B и D опущены перпендикуляры BB₁, BB₂, DD₁ и DD₂ на эти прямые. Докажите, что отрезки B₁B₂ и D₁D₂ равны и перпендикулярны.

   Решение

---

На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD взяты точки M и N так, что отрезок MN параллелен основаниям и делит площадь трапеции пополам. Найдите длину MN, если BC = a и AD = b.

   Решение

---

Пусть характеристическое уравнение ( 11.3) последовательности {a_n} имеет два различных корня x₁ и x₂. Докажите, что при фиксированных a₀, a₁ существует ровно одна пара чисел c₁, c₂ такая, что

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61458  (#11.031)

Тема:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]

Сложность: 2 Классы: 8,9,10,11

Определение. Последовательность чисел a₀, a₁,...,a_n,..., которая удовлетворяет с заданными p и q соотношению

называется линейной рекуррентной (возвратной) последовательностью второго порядка.
Уравнение
называется характеристическим уравнением последовательности (a _n).
Докажите, что если числа a₀, a₁ фиксированы, то все остальные члены последовательности {a_n} определяются однозначно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61459  (#11.032)

Тема:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]

Сложность: 2+ Классы: 9,10,11

Докажите, что геометрическая прогрессия {a_n} = bx₀ⁿ удовлетворяет соотношению (11.2 ) тогда и только тогда, когда x₀ -- корень характеристического уравнения (11.3 ) последовательности {a_n}.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61460  (#11.033)

Тема:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Пусть характеристическое уравнение ( 11.3) последовательности {a_n} имеет два различных корня x₁ и x₂. Докажите, что при фиксированных a₀, a₁ существует ровно одна пара чисел c₁, c₂ такая, что

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61461  (#11.034)

Тема:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Пусть характеристическое уравнение (11.3) последовательности {a_n} имеет корень x₀ кратности 2. Докажите, что при фиксированных a₀, a₁ существует ровно одна пара чисел c₁, c₂ такая, что

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61462  (#11.035)

Тема:   [ Линейные рекуррентные соотношения ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями ( n 0):

a) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 5an + 1 - 6an;

б) a0 = 1, a1 = 1, an + 2 = 3an + 1 - 2an;

в) a0 = 1, a1 = 1, an + 2 = an + 1 + an;

г) a0 = 1, a1 = 2, an + 2 = 2an + 1 - an;

д) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 2an + 1 + an.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями