ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи В прямоугольном треугольнике ABC точка C0 – середина гипотенузы AB, AA1, BB1 – биссектрисы, I – центр вписанной окружности. Сфера, вписанная в пирамиду SABC, касается граней SAB, SBC, SCA в точках D, E, F соответственно. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB', CC'. Через A и C' проведены две окружности, касающиеся BC в точках P и Q. Даны натуральные числа a и b, причём a < b < 2a. На клетчатой плоскости отмечены некоторые клетки так, что в каждом клетчатом прямоугольнике a×b или b×a есть хотя бы одна отмеченная клетка. При каком наибольшем α можно утверждать, что для любого натурального N найдётся клетчатый квадрат N×N, в котором отмечено хотя бы αN² клеток? Чётное число орехов разложено на три кучки. За одну операцию можно переложить половину орехов из кучки с чётным числом орехов в любую другую кучку. Докажите, что, как бы орехи ни были разложены изначально, такими операциями можно в какой-нибудь кучке собрать ровно половину всех орехов. В стране лингвистов существует n языков. Там живет m людей, каждый из которых знает ровно три языка, причём для разных людей эти наборы различны. Известно, что максимальное число людей, любые два из которых могут поговорить без посредников, равно k. Оказалось, что 11n ≤ k ≤ m/2. В клетках таблицы 3×3 расставлены числа так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке равна нулю. Какое наименьшее количество чисел, отличных от нуля, может быть в этой таблице, если известно, что оно нечётно? Каждая буква в словах ЭХ и МОРОЗ соответствует какой-то цифре, причём одинаковым цифрам соответствуют одинаковые буквы, а разным – разные. Известно, что Э·Х = M·О·Р·О·З, а Э + Х = М + О + Р + О + З. Чему равно Э·Х + M·О·Р·О·З? Неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательная к этой окружности в точке C пересекает прямую AB в точке D. Пусть I – центр вписанной окружности, треугольника ABC. Прямые AI и BI пересекают биссектрису угла CDB в точках Q и P соответственно. Пусть M – середина отрезка PQ. Докажите, что прямая MI проходит через середину дуги ACB окружности ω. В прямоугольном треугольнике ABC точка D – середина высоты, опущенной на гипотенузу AB. Прямые, симметричные AB относительно AD и BD, пересекаются в точке F. Найдите отношение площадей треугольников ABF и ABC. За круглым столом сидят 40 человек. Может ли случиться, что у каждых двух из них, между которыми сидит чётное число человек, есть за столом общий знакомый, а у каждых двух, между которыми сидит нечётное число человек, общего знакомого нет? Правильный треугольник со стороной 1 разрезан произвольным образом на равносторонние треугольники, в каждый из которых вписан круг. Можно ли расставить натуральные числа от 1 до 10 в ряд так, чтобы каждое число было делителем суммы всех предыдущих? В таблицу 29×29 вписали числа 1, 2, 3, ..., 29, каждое по 29 раз. Оказалось, что сумма чисел над главной диагональю в три раза больше суммы чисел под этой диагональю. Найдите число, вписанное в центральную клетку таблицы. Существует ли такая бесконечная последовательность натуральных чисел, что для любого натурального k сумма любых k идущих подряд членов этой последовательности делится на k + 1? Василиса Премудрая расставляет все натуральные числа от 1 до n², где n > 1, в клетки таблицы размером n×n. Кандидат в женихи должен вычеркнуть строку и столбец так, чтобы сумма всех оставшихся чисел была чётной. Всегда ли выполнимо такое задание? В левом нижнем углу клетчатой доски n×n стоит конь. Известно, что наименьшее число ходов, за которое конь может дойти до правого верхнего угла, равно наименьшему числу ходов, за которое он может дойти до правого нижнего угла. Найдите n. Имеются три литровых банки и мерка объемом 100 мл. Первая банка пуста, во второй – 700 мл сладкого чая, в третьей – 800 мл сладкого чая. При этом во второй банке растворено 50 г сахара, а в третьей – 60 г сахара. Разрешается набрать из любой банки полную мерку чая и перелить весь этот чай в любую другую банку. Можно ли несколькими такими переливаниями добиться, чтобы первая банка была пуста, а количество сахара во второй банке равнялось количеству сахара в третьей банке? Вдоль дороги стоит 9 фонарей. Если перегорел один из них, а соседние светят, то дорожная служба не беспокоится. Но если перегорают два фонаря подряд, то
дорожная служба сразу меняет все перегоревшие фонари. Каждый фонарь перегорает независимо от других. Дан треугольник ABC. На стороне AB как на основании построен во внешнюю сторону равнобедренный треугольник ABC' с углом при вершине 120°, а на стороне AC построен во внутреннюю сторону правильный треугольник ACB'. Точка K – середина отрезка BB'. Найдите углы треугольника KCC'. У нумизмата есть 100 одинаковых по внешнему виду монет. Он знает, что среди них 30 настоящих и 70 фальшивых монет. Кроме того, он знает, что массы всех настоящих монет одинаковы, а массы всех фальшивых – разные, причём каждая фальшивая монета тяжелее настоящей; однако точные массы монет неизвестны. Имеются двухчашечные весы без гирь, на которых можно за одно взвешивание сравнить массы двух групп, состоящих из одинакового числа монет. За какое наименьшее количество взвешиваний на этих весах нумизмат сможет гарантированно найти хотя бы одну настоящую монету? Пусть Р – произвольная точка внутри треугольника АВС. Обозначим через А1, В1 и С1 точки пересечения прямых АР, ВР и СР соответственно со сторонами ВС, СА и АВ. Упорядочим площади треугольников АВ1С1, А1ВС1, А1В1С, обозначив меньшую через S1, среднюю – S2, а большую – S3. Докажите, что |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Дан треугольник АВС и две прямые l1, l2. Через произвольную точку D на стороне АВ проводится прямая, параллельная l1, пересекающая АС в точке Е, и прямая, параллельная l2, пересекающая ВС в точке F. Построить точку D, для которой отрезок EF имеет наименьшую длину.
Пусть Р – произвольная точка внутри треугольника АВС. Обозначим через А1, В1 и С1 точки пересечения прямых АР, ВР и СР соответственно со сторонами ВС, СА и АВ. Упорядочим площади треугольников АВ1С1, А1ВС1, А1В1С, обозначив меньшую через S1, среднюю – S2, а большую – S3. Докажите, что
В остроугольном неравностороннем треугольнике отметили четыре точки: центры вписанной и описанной окружностей, точку пересечения медиан и ортоцентр. Затем сам треугольник стерли. Оказалось, что невозможно установить, какому центру соответствует каждая из отмеченных точек. Найдите углы треугольника.
В треугольник АВС вписана окружность и отмечен её центр I и точки касания P, Q, R со сторонами ВС, СА, АВ соответственно. Одной линейкой постройте точку К, в которой окружность, проходящая через вершины В и С, касается (внутренним образом) вписанной окружности.
Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD, A', B', C', D' – центры описанных сфер тетраэдров IBCD, ICDA, IDBA, IABC соответственно.
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке