На сколько частей делят пространство n плоскостей, проходящих через одну точку, если никакие три не имеют общей прямой?

   Решение

Существуют ли на плоскости три такие точки A, B и C, что для любой точки X длина хотя бы одного из отрезков XA, XB и XC иррациональна?

   Решение

В треугольник вписана окружность. Около неё описан квадрат. Докажите, что вне треугольника лежит меньше половины периметра квадрата.

   Решение

Может ли конечный набор точек содержать для каждой своей точки ровно 100 точек, удаленных от нее на расстояние 1?

   Решение

Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски так, чтобы слоны не били друг друга. (Цвет слонов значения не имеет). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

   Решение

Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.
Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

Изначально на доске записаны несколько натуральных чисел (больше одного). Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число  1² + 2² + 2²). Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей.

Прислать комментарий

Решение

Выпуклый многоугольник разрезан непересекающимися диагоналями на равнобедренные треугольники.
Докажите, что в этом многоугольнике найдутся две равные стороны.

Прислать комментарий

Решение

Окружность ω описана около остроугольного треугольника ABC. На стороне AB выбрана точка D, а на стороне BC – точка E так, что  DE || AC.  Точки P и Q на меньшей дуге AC окружности ω таковы, что  DP || EQ.  Лучи QA и PC пересекают прямую DE в точках X и Y соответственно. Докажите, что  ∠XBY + ∠PBQ = 180°.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]