Версия для печати
Убрать все задачи

---

На доске написаны  n > 3  различных натуральных чисел, меньших чем  (n – 1)!.  Для каждой пары этих чисел Серёжа поделил большее на меньшее с остатком и записал в тетрадку полученное неполное частное (так, если бы он делил 100 на 7, то он бы получил  100 = 14·7 + 2  и записал бы в тетрадку число 14). Докажите, что среди чисел в тетрадке найдутся два равных.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66147  (#9.1)

Темы:   [ Ориентированные графы ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В стране некоторые пары городов соединены односторонними прямыми авиарейсами (между любыми двумя городами есть не более одного рейса). Скажем, что город A доступен для города B, если из B можно долететь в A, возможно, с пересадками. Известно, что для любых двух городов P и Q существует город R, для которого и P, и Q доступны. Докажите, что существует город, для которого доступны все города страны. (Считается, что город доступен для себя.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66148  (#9.2)

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Дана равнобокая трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Окружность ω проходит через вершины B и C и вторично пересекает сторону AB и диагональ BD в точках X и Y соответственно. Касательная, проведённая к окружности ω в точке C, пересекает луч AD в точке Z. Докажите, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66149  (#9.3)

Темы:   [ Доказательство от противного ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Сто гномов, веса которых равны 1, 2, 3, ..., 100 фунтов, собрались на левом берегу реки. Плавать они не умеют, но на этом же берегу находится гребная лодка грузоподъемностью 100 фунтов. Из-за течения плыть обратно трудно, поэтому у каждого гнома хватит сил грести с правого берега на левый не более одного раза (грести в лодке достаточно любому из гномов; гребец в течение одного рейса не меняется). Смогут ли все гномы переправиться на правый берег?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66150  (#9.4)

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Индукция (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность a₁, a₂, a₃, ... натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трёх различных членов последовательности?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66151  (#9.5)

Темы:   [ Доказательство от противного ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На доске написаны  n > 3  различных натуральных чисел, меньших чем  (n – 1)!.  Для каждой пары этих чисел Серёжа поделил большее на меньшее с остатком и записал в тетрадку полученное неполное частное (так, если бы он делил 100 на 7, то он бы получил  100 = 14·7 + 2  и записал бы в тетрадку число 14). Докажите, что среди чисел в тетрадке найдутся два равных.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями