Дан треугольник $ABC$. Пусть $I$ – центр вневписанной окружности, касающейся стороны $AB$, а $A_1$ и $B_1$ – точки касания двух других вневписанных окружностей со сторонами $BC$ и $AC$ соответственно. Пусть $M$ – середина отрезка $IC$, а отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $N$. Докажите, что точки $N$, $B_1$, $A$ и $M$ лежат на одной окружности.

   Решение

Вневписанные окружности касаются сторон AB и AC треугольника ABC в точках P и Q соответственно. Точка L – середина PQ, точка M – середина BC. Точки L₁ и L₂ симметричны точке L относительно середин отрезков BM и CM соответственно. Докажите, что  L₁P = L₂Q.

   Решение

Кролик, готовясь к приходу гостей, повесил в трёх углах своей многоугольной норы по лампочке. Пришедшие к нему Винни-Пух и Пятачок увидели, что не все горшочки с мёдом освещены. Когда они полезли за мёдом, две лампочки разбились. Кролик перевесил оставшуюся лампочку в некоторый угол так, что вся нора оказалась освещена. Могло ли такое быть? (Если да, нарисуйте пример, если нет, обоснуйте ответ.)

   Решение

Мишень представляет собой треугольник, разбитый тремя семействами параллельных прямых на 100 равных правильных треугольничков с единичными сторонами. Снайпер стреляет по мишени. Он целится в треугольничек и попадает либо в него, либо в один из соседних с ним по стороне. Он видит результаты своей стрельбы и может выбирать, когда стрельбу заканчивать. Какое наибольшее число треугольничков он может с гарантией поразить ровно пять раз?

   Решение

Окружность касается боковых сторон трапеции $ABCD$ в точках $B$ и $C$, а её центр лежит на $AD$. Докажите, что диаметр окружности меньше средней линии трапеции.

   Решение

Прямоугольник разрезан на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых – целое число метров.
Верно ли, что периметр исходного прямоугольника – тоже целое число метров?

   Решение

На экране компьютера сгенерирована некоторая конечная последовательность нулей и единиц. С ней можно производить следующую операцию: набор цифр "01" заменять на набор цифр "1000". Может ли такой процесс замен продолжаться бесконечно или когда-нибудь он обязательно прекратится?

   Решение

Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на две части, из которых можно сложить треугольник.

   Решение

Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Пусть $M_{ac}$ – середина диагонали $AC$; $H_d$, $H_b$ – ортоцентры треугольников $ABC$, $ADC$ соответственно; $P_d$, $P_b$ – проекции $H_d$ и $H_b$ на $BM_{ac}$ и $DM_{ac}$ соответственно. Аналогично определим $P_a$, $P_c$ для диагонали $BD$. Докажите, что $P_a$, $P_b$, $P_c$, $P_d$ лежат на одной окружности.

   Решение

На стороне AB прямоугольника ABCD выбрана точка M . Через эту точку проведён перпендикуляр к прямой CM , который пересекает сторону  AD в точке  E . Точка P  — основание перпендикуляра, опущенного из точки  M на прямую  CE . Найдите угол  APB .

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1 . Точки K и M – середины отрезков AB и A1B1 соответственно. Отрезки AA1 и KM пересекаются в точке L . Докажите, что точки A , K , L и B1 лежат на одной окружности.

   Решение

У Кая есть ледяная пластинка в форме "уголка" (см. рисунок). Снежная Королева потребовала от Кая разрезать ее на четыре равные части. Как ему это сделать?

   Решение

На одной стороне угла с вершиной O взята точка A, а на другой – точки B и C, причём точка B лежит между O и C. Проведена окружность с центром O₁, вписанная в треугольник OAB, и окружность с центром O₂, касающаяся стороны AC и продолжений сторон OA и OC треугольника AOC. Докажите, что если  O₁A = O₂A,  то треугольник ABC равнобедренный.

   Решение

В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками "!" и "?", но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение $a?b$ обозначает одно из следующих:  $a - b,  b - a$  или  $a + b$.  Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные $a, b$ и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков "!", "?" записать выражение, которое гарантированно равно  $20a - 18b$.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]      

В стране рыцарей (всегда говорят правду) и лжецов (всегда лгут) за круглым столом сидят в вершинах правильного десятиугольника 10 человек, среди которых есть лжецы. Путешественник может встать куда-то и спросить сидящих: "Каково расстояние от меня до ближайшего лжеца из вас?" После этого каждый отвечает ему. Какое минимальное количество вопросов должен задать путешественник так, чтобы гарантированно узнать, кто за столом лжецы? (Посторонних рядом нет, на стол вставать нельзя. Людей считайте точками. Все, включая путешественника, могут точно измерить любое расстояние.)

Прислать комментарий

Решение

В некотором государстве сложение и вычитание обозначаются знаками "!" и "?", но вам неизвестно, какой знак какой операции соответствует. Каждая операция применяется к двум числам, но про вычитание вам неизвестно, вычитается левое число из правого или правое из левого. К примеру, выражение $a?b$ обозначает одно из следующих:  $a - b,  b - a$  или  $a + b$.  Вам неизвестно, как записываются числа в этом государстве, но переменные $a, b$ и скобки есть и используются как обычно. Объясните, как с помощью них и знаков "!", "?" записать выражение, которое гарантированно равно  $20a - 18b$.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]