Равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана в окружность с центром $O$. Прямая $BO$ пересекает отрезок $AD$ в точке $E$. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры описанных окружностей треугольников $ABE$ и $DBE$ соответственно. Докажите, что точки $O_1, O_2, O, C$ лежат на одной окружности.

   Решение

Найдите первые 99 знаков после запятой в разложении числа   .

   Решение

Правильный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$. Окружности $\Omega_A$, $\Omega_B$, $\Omega_C$ с центрами $A$, $B$, $C$ соответственно проходят через точку $P$, лежащую на $\Omega$, и касаются одной прямой. Докажите, что существует прямая, касающаяся двух из этих окружностей и проходящая через вершину треугольника $ABC$.

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

Из бумаги вырезан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, в котором $AB=AE$, $\angle A=\angle B=\angle E=90^{\circ}$, $BC=3$, $CD=5$, $DE=2$. Постройте перпендикуляр из $A$ на прямую $CD$, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий. Линии можно проводить только внутри пятиугольника.

Прислать комментарий

Решение

Правильный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\Omega$. Окружности $\Omega_A$, $\Omega_B$, $\Omega_C$ с центрами $A$, $B$, $C$ соответственно проходят через точку $P$, лежащую на $\Omega$, и касаются одной прямой. Докажите, что существует прямая, касающаяся двух из этих окружностей и проходящая через вершину треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

Можно ли отметить на плоскости больше шести точек, не лежащих на одной прямой, и раскрасить их в три цвета так, чтобы на любой прямой, проходящей через две разноцветные точки, лежала еще ровно одна отмеченная точка, окрашенная в третий цвет?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]