Каталог по источникам

Выбрано 16 задач

Какой угол образуют часовая и минутная стрелки в 4 часа 12 минут?

Докажите, что
а) S³ $\leq$ ( $\sqrt{3}$ /4)³(abc)²;
б) 3h_ah_bh_c $\leq$ 43 $\sqrt{S}$ $\leq$ 3r_ar_br_c.

Дано несколько точек и для некоторых пар (A, B) этих точек взяты векторы $\overrightarrow{AB}$ , причем в каждой точке начинается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна $\overrightarrow{0}$ .

Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что S_A₁B₁C₁/S_ABC $\leq$ 1/4.

Решение

Куб сложен из 27 одинаковых кубиков (см. рис.). Сравните площадь поверхности этого куба и площадь поверхности фигуры, которая получится, если из него вынуть все "угловые" кубики.

Решение

На бирже Цветочного города 1 лимон и 1 банан можно обменять на 2 апельсина и 23 вишни, а 3 лимона – на 2 банана, 2 апельсина и 14 вишен. Что дороже: лимон или банан?

Решение

На 99 карточках пишутся числа 1, 2, 3, ..., 99. Затем карточки перемешиваются, раскладываются чистыми сторонами вверх и на чистых сторонах снова пишутся числа 1, 2, 3, 4, ..., 99. Для каждой карточки числа, стоящие на ней, складываются и 99 полученных сумм перемножаются. Доказать, что в результате получится чётное число.

Решение

При каких значениях m уравнения mx – 1000 = 1001 и 1001x = m – 1000x имеют общий корень?

Решение

Пусть O — центр прямоугольника ABCD. Найдите ГМТ M, для которых AM $\geq$ OM, BM $\geq$ OM, CM $\geq$ OM и DM $\geq$ OM.

Решение

Автор: Френкин Б.Р.

Бесконечные возрастающие арифметические прогрессии $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ и $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ состоят из положительных чисел. Известно, что отношение $\frac{a_{k}}{b_{k}}$ целое при любом $k$. Верно ли, что это отношение не зависит от $k$?

Решение

Автор: Мурашкин М.В.

Дан правильный 12-угольник A₁A₂...A₁₂.
Можно ли из 12 векторов выбрать семь, сумма которых равна нулевому вектору?

Решение

Являются ли подобными два прямоугольника: картина в рамке и картина без рамки, если ширина рамки всюду одинакова (см. рис.)?

Решение

Докажите, что все углы, образованные сторонами и диагоналями правильного n-угольника, кратны ^180°/_n.

Решение

Каковы первые четыре цифры числа 1¹ + 2² + 3³ + ... + 999⁹⁹⁹ + 1000¹⁰⁰⁰?

Решение

Найти все положительные решения системы уравнений

Решение

Автор: Гервер М.Л.

На белых клетках бесконечной шахматной доски, заполняющей верхнюю полуплоскость, записаны какие-то числа так, что для каждой чёрной клетки сумма чисел, стоящих в двух соседних с ней клетках – справа и слева, – равна сумме двух других чисел, стоящих в соседних с ней клетках – сверху и снизу. Известно число, стоящее в одной клетке n-й строки (крестик на рисунке), а требуется узнать число, стоящее над ним в (n+2)-й строке (знак вопроса на рисунке). Сколько ещё чисел, стоящих в двух нижних строках (точки на рисунке), нужно для этого знать?

Решение

Задача 78821 (#М161)

Задача 73697 (#М162)

Задача 52503 (#М163)

Задача 73699 (#М164)

Задача 73700 (#М165)