Версия для печати
Убрать все задачи

---

Приведённый квадратный трёхчлен P(x) таков, что многочлены P(x) и P(P(P(x))) имеют общий корень. Докажите, что  P(0)P(1) = 0.

   Решение

---

У Винни-Пуха пять друзей, у каждого из которых в домике есть горшочки с медом: у Тигры – 1, у Пятачка – 2, у Совы – 3, у Иа-Иа – 4, у Кролика – 5. Винни-Пух по очереди приходит в гости к каждому другу, съедает один горшочек меда, а остальные забирает с собой. К последнему домику он подошёл, неся 10 горшочков с медом. Чей домик Пух мог посетить первым?

   Решение

---

В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73751  (#М216)

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Теория графов (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

n человек не знакомы между собой. Нужно так познакомить друг с другом некоторых из них, чтобы ни у каких трёх людей не оказалось одинакового числа знакомых. Докажите, что это можно сделать при любом n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57845  (#М217)

Темы:   [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Даны выпуклый n-угольник с попарно непараллельными сторонами и точка O внутри его. Докажите, что через точку O нельзя провести более n прямых, каждая из которых делит площадь n-угольника пополам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73753  (#М218)

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

  а) x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ – положительные числа. Докажите, что квадрат суммы этих чисел не меньше учетверённой суммы произведений x₁x₂, x₂x₃, x₃x₄, x₄x₅ и x₅x₁.
  б) При каком наибольшем c_n для любых неотрицательных x₁, ..., x_n верно неравенство  (x₁ + x₂ + ... + x_n)² ≥ c_n(x₁x₂ + x₂x₃ + ... + x_nx₁)
(в правой части n слагаемых)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73754  (#М219)

Темы:   [ Параллелепипеды (прочее) ] [ Остовы многогранных фигур ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Cерединный перпендикуляр и ГМТ ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

В пространстве заданы четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Сколько существует различных параллелепипедов, для которых эти точки служат вершинами?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73755  (#М220)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Шахматная раскраска ] [ Внутренность и внешность. Лемма Жордана ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Король обошёл шахматную доску, побывав на каждом поле ровно один раз и вернувшись последним ходом на исходное поле. (Король ходит по обычным правилам: за один ход он может перейти по горизонтали, вертикали или диагонали на любое соседнее поле.) Когда нарисовали его путь, последовательно соединив центры полей, которые он проходил, получилась замкнутая ломаная без самопересечений. Какую наименьшую и какую наибольшую длину может она иметь? (Сторона клетки равна единице.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями