Точки A₁, B₁ и C₁ симметричны центру описанной окружности треугольника ABC относительно его сторон.
Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.

   Решение

2n радиусов разделили круг на 2n равных секторов: n синих и n красных, чередующихся в произвольном порядке. В синие сектора, начиная с некоторого, записывают против хода часовой стрелки числа от 1 до n. В красные сектора, начиная с некоторого, записывают те же числа, но по ходу часовой стрелки. Докажите, что найдётся полукруг, в котором записаны все числа от 1 до n.

   Решение

Доказать, что в выпуклый равносторонний (но не обязательно правильный) пятиугольник можно поместить правильный треугольник так, что одна из его сторон будет совпадать со стороной пятиугольника, а весь треугольник будет лежать внутри этого пятиугольника.

   Решение

Точка O, лежащая внутри выпуклого четырёхугольника площади S, отражается симметрично относительно середин его сторон.
Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в полученных точках.

   Решение

а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры.

б) Даны натуральные числа k и n, причём  1 < k < n.  Для какого наименьшего m верно следующее утверждение: при любой расстановке m ладей на доске размером n×n клеток можно выбрать k ладей из этих m так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били друг друга?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры.

б) Даны натуральные числа k и n, причём  1 < k < n.  Для какого наименьшего m верно следующее утверждение: при любой расстановке m ладей на доске размером n×n клеток можно выбрать k ладей из этих m так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били друг друга?

Прислать комментарий

Решение

Для любого натурального числа n сумма     делится на 2^n–1. Докажите это.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73774  (#М239)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Итерации ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Теорема Эйлера ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Автор: Чернов Н.

На плоскости даны две точки A и B. Пусть C – некоторая точка плоскости, равноудалённая от точек A и B. Построим последовательность точек
C₁ = C, C₂, C₃, ...,  где C_n+1 – центр описанной окружности треугольника ABC_n. При каком положении точки C
  а) точка C_n попадёт в середину отрезка AB (при этом C_n+1 и дальнейшие члены последовательности не определены)?
  б) точка C_n совпадает с C?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73775  (#М240)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Двоичная система счисления ] [ Показательные неравенства ] [ Логарифмические неравенства ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10,11

Автор: Белага Э.Г.

По заданному ненулевому x значение x⁸ можно найти за три арифметических действия: x² = x · x, x⁴ = x² · x², x⁸ = x⁴ · x⁴, а x¹⁵ — за пять действий: первые три — те же самые, затем x⁸ · x⁸ = x¹⁶ и x¹⁶ : x = x¹⁶. Докажите, что

а) x¹⁶ можно найти за 12 действий (умножений и делений);

б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log₂n действий.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]