Каталог по источникам

Выбрано 4 задачи

Найдите произведения следующих формальных степенных рядов:

а) (1 + x + x² + x³ +...)(1 - x + x² - x³ +...);

б) (1 + x + x² + x³ +...)²;

в) $\left(\vphantom{1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+\ldots}\right.$ 1 + x + ${\dfrac{x^2}{2!}}$ +...+ ${\dfrac{x^n}{n!}}$ +... $\left.\vphantom{1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+\ldots}\right)$ $\left(\vphantom{1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\ldots+\dfrac{(-x)^n}{n!}+\ldots}\right.$ 1 - x + ${\dfrac{x^2}{2!}}$ -...+ ${\dfrac{(-x)^n}{n!}}$ +... $\left.\vphantom{1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\ldots+\dfrac{(-x)^n}{n!}+\ldots}\right)$ .

Решение

Автор: Бакаев Е.В.

Андрей Степанович каждый день выпивает столько капель валерьянки, сколько в этом месяце уже было солнечных дней (включая текущий день). Иван Петрович каждый пасмурный день выпивает количество капель валерьянки, равное номеру дня в месяце, а в солнечные дни не пьет. Докажите, что если в апреле ровно половина дней будет пасмурные, а другая половина – солнечные, то Андрей Степанович и Иван Петрович выпьют за месяц поровну валерьянки.

Решение

В городе Никитовка двустороннее движение. В течение двух лет в городе проходил ремонт всех дорог. Вследствие этого в первый год на некоторых дорогах было введено одностороннее движение. На следующий год на этих дорогах было восстановлено двустороннее движение, а на остальных дорогах введено одностороннее движение. Известно, что в каждый момент ремонта можно было проехать из любой точки города в любую другую. Доказать, что в Никитовке можно ввести одностороннее движение так, что из каждой точки города удастся проехать в любую другую точку.

Решение

Некоторое количество точек расположено на плоскости так, что каждые 3 из них можно заключить в круг радиуса r = 1. Доказать, что тогда и все точки можно заключить в круг радиуса 1.

Решение

Задача 76495 (#1)

Задача 76496 (#2)

Задача 76497 (#3)

Задача 76498 (#4)

Задача 76499 (#5)