ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская математическая олимпиада >> 1945 год
Варианты:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Некоторые из чисел a1, a2,...an равны +1, остальные равны -1. Доказать, что

2 sin$\displaystyle \left(\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right.$a1 + $\displaystyle {\frac{a_1a_2}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2a_3}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right)$$\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ =
         = a1$\displaystyle \sqrt{2+a_2\sqrt{2+a_3\sqrt{2+\dots +a_n\sqrt{2}}}}$.

В частности, при a1 = a2 = ... = an = 1, имеем:

2 sin$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}}\right.$1 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{2^{n-1}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}}\right)$$\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{\pi}{2^{n+1}}}$ =
         = $\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}$.

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 16]      

  с решениями  

Задача 76515

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Некоторые из чисел a1, a2,...an равны +1, остальные равны -1. Доказать, что

2 sin$\displaystyle \left(\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right.$a1 + $\displaystyle {\frac{a_1a_2}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2a_3}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right)$$\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ =
         = a1$\displaystyle \sqrt{2+a_2\sqrt{2+a_3\sqrt{2+\dots +a_n\sqrt{2}}}}$.

В частности, при a1 = a2 = ... = an = 1, имеем:

2 sin$\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}}\right.$1 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{2^{n-1}}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}}\right)$$\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ = 2 cos$\displaystyle {\frac{\pi}{2^{n+1}}}$ =
         = $\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}$.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 16]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .